反比例函数是初中数学中的一个重要概念，特别是在九年级下册的学习中。反比例函数的一般形式为 \( y = \frac{k}{x} \)，其中 \( k \) 是常数，\( x \) 和 \( y \) 是变量。本节内容主要关注反比例函数的图象绘制及其性质。
在绘制反比例函数的图象时，遵循以下步骤：
1. 确定自变量的取值范围，由于反比例函数的分母不能为零，所以 \( x \) 的值不能取零。
2. 列表，选取正负数值，通常是成对出现且互为相反数，例如 (-1, -k), (1, k) 等。
3. 描点，将每个点的坐标在坐标系上标出。
4. 连线，用平滑的曲线连接这些点，形成反比例函数的双曲线。
反比例函数的图象特征包括：
1. 双曲线，由两部分构成，不与坐标轴相交。
2. 当 \( k > 0 \) 时，双曲线位于第一和第三象限；当 \( k < 0 \) 时，双曲线位于第二和第四象限。
3. 图象具有轴对称性，对称轴是各象限的角平分线。
4. 反比例函数图象也是中心对称图形，对称中心是原点 (0, 0)。
在实际应用中，需要注意：
1. 自变量 \( x \) 的值不能为零，否则会导致分母为零，函数无意义。
2. 画图时，为了准确，应多取几个点进行描点，确保图象平滑。
3. 当反比例函数的图象位于第一、三象限时，函数值随 \( x \) 的增大而减小，反之，若在第二、四象限，函数值随 \( x \) 的增大而增大。
例如，考虑函数 \( y = \frac{4}{x} \) 和 \( y = -\frac{4}{x} \)，它们的共同点是都有两个分支，不与坐标轴相交，且图象自身对称。不同点在于 \( y = \frac{4}{x} \) 的图象位于第一和第三象限，而 \( y = -\frac{4}{x} \) 的图象位于第二和第四象限。
此外，反比例函数的位置由常数 \( k \) 决定，\( k \) 的符号决定了图象所在的象限。当 \( k > 0 \)，图象位于第一和第三象限；当 \( k < 0 \)，图象位于第二和第四象限。例如，在题目中，如果反比例函数 \( y = \frac{m-1}{x} \) 的图象位于第一、三象限，那么 \( m-1 > 0 \)，因此 \( m > 1 \)。
通过练习题组，我们可以进一步巩固反比例函数图象的画法和位置判断，例如，当 \( x > 0 \) 时，函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图象位于第一象限。
反比例函数的图象和性质是理解和解决相关问题的关键，这包括了图象的形状、位置、对称性和与 \( k \) 的关系等。通过深入学习和实践，学生能更好地掌握这一概念，并能运用到实际问题中。
