北京市各地2015届高三数学上学期考试试题分类汇编 导数及其应用 理

【知识点详解】 本题涉及到的是高中数学中的一个重要概念——导数及其应用，主要考察了函数的单调性、极值、切线以及不等式的解法。以下是对这些知识点的详细阐述： 1. 导数与单调性：导数是描述函数变化快慢的工具。当函数的导数大于0时，函数在该区间内单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。例如，题目中的第1题和第2题就要求求解函数的单调区间，需要计算函数的一阶导数并找出导数为正或负的区间。 2. 极值的判定：函数的极大值或极小值通常发生在导数从正变负或从负变正的点上，也可能是端点或者导数不存在的点。例如，第1题的第二部分和第3题要求求解函数的极值，需要通过分析导数的符号变化来确定。 3. 切线方程：函数在某一点的切线斜率等于该点处的导数值，切线方程可以用点斜式或一般式求得。例如，第3题的第一部分和第9题的第一部分都要求求出函数在特定点的切线方程。 4. 不等式解法：在函数的单调性和极值问题中，常常会涉及解不等式来确定参数的取值范围。例如，第1题的第二部分和第2题的第二部分，需要解关于参数a的不等式，以满足函数的特定性质。 5. 函数的单调性与极值点：函数的单调性与其导数密切相关，如果函数在某区间内连续且可导，那么它的单调性可以通过其导数的符号来确定。第5题要求找到函数的极小值，而第11题要求函数在给定区间上是单调的，这就需要研究函数的导数。 6. 方程与函数的交点：函数图像的交点可以转化为方程的解，第8题的第二部分和第12题的第二部分，都是寻找函数图像的交点，这涉及到了函数方程的解法。 7. 函数的最值：函数在闭区间上的最大值和最小值可以通过极值点和端点的函数值比较得到。第1题的第二部分、第2题的第二部分、第3题的第二部分、第10题的第二部分和第13题的第二部分都涉及到求函数的最大值或最小值。 这些题目集中考察了导数在理解函数性质、确定函数单调性、求解极值、构造切线以及解决不等式问题等方面的重要作用。解这类问题的关键在于正确计算导数，理解导数的几何和代数意义，以及灵活运用导数的性质来解决问题。