【知识点详解】
1. **组合数公式**：组合数公式是高中数学中组合论的基本概念，表示从n个不同元素中取出k个元素的方法数，记作C(n, k)或C_n^k，其中C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]。其中"!"表示阶乘，例如5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1。
2. **组合的性质**：组合数满足以下性质：
- 反序性：C(n, k) = C(n, n-k)
- 分配性：C(n+k, k) = C(n, k) + C(n, k-1)
3. **“村村通”工程**：这个问题是实际应用中的组合问题，涉及到如何计算不同村庄之间建立连接的所有可能方式。在这个例子中，用组合数来确定需要建设的公路数量。
4. **组合计数**：题目中的选择题和填空题涉及到组合计数，如从5名志愿者中选4人，或者从9个整数中取4个数，都要求求解不同的组合方式。这需要利用组合数公式和组合的性质进行计算。
5. **组合的无序性**：在组合问题中，元素的顺序并不重要，例如，选取4个数，无论选取的顺序如何，只要选取的是同一组数，就被认为是同一种组合。
6. **不等式解法**：不等式C(n, k) - n < 5需要通过组合数的性质和整数的限制条件来求解，涉及对n的取值范围分析。
7. **子集的概念**：集合P的子集问题，特别是含有特定数量元素的子集，也是组合问题。计算含有3个元素的子集数，可以用组合数公式解决。
8. **具有伙伴关系的集合**：这是一个特殊的集合定义，要求集合中的元素满足某种特定关系。解题时需要找出满足这种关系的所有元素组合，然后计算它们可以构成的子集数。
9. **组合数的运算**：题目中给出了组合数的加法、乘法运算，以及组合数乘以组合数的运算，这些都是对组合数公式的直接应用。
10. **实际问题中的组合**：例如矩形的计数问题和最短路径问题，都是将组合论应用于实际场景，通过组合计数解决实际问题。
总结来说，这些题目涵盖了组合论的基础知识，包括组合数公式、组合的性质、组合计数方法，以及这些理论在实际问题中的应用，对于理解高中数学中的组合部分具有重要意义。学习者需要掌握组合数的计算方法，理解组合的无序性，以及能够运用组合思想解决实际问题。
