【直线与圆、圆与圆的位置关系】
在高中数学中，直线与圆、圆与圆的位置关系是解析几何中的重要知识点，特别是在高考复习阶段。这些关系主要包括相离、相切、相交等状态，以及如何通过几何性质和代数方法判断它们之间的关系。
1. **直线与圆的位置关系**：
- **相离**：直线与圆没有交点，此时直线到圆心的距离大于圆的半径。
- **相切**：直线与圆有一个交点，直线到圆心的距离等于圆的半径。
- **相交**：直线与圆有两个交点，直线到圆心的距离小于圆的半径。
2. **判断方法**：
- **代数法**：通过计算直线方程与圆的方程联立后的判别式来判断，如题中法一，计算直线与圆心的距离并与半径比较。
- **几何法**：利用数形结合，通过画图直观判断，如题中法二。
3. **圆与圆的位置关系**：
- **外离**：两圆没有公共点，圆心距大于两圆半径之和。
- **外切**：两圆有一个公共点，圆心距等于两圆半径之和。
- **相交**：两圆有两个公共点，圆心距小于两圆半径之和但大于两圆半径之差。
- **内切**：两圆有一个公共点，圆心距等于两圆半径之差。
- **内含**：两圆没有公共点，圆心距小于两圆半径之差。
4. **解题技巧**：
- 当涉及圆与直线的交点个数时，可以考虑圆心到直线的距离与半径的关系。
- 圆与圆的位置关系可通过圆心距与半径的关系来判断，同时要考虑公共弦的性质，例如题目中提到的公共弦通过另一圆的圆心。
5. **应用实例**：
- 题目中给出了多个选择题和填空题，通过解题我们可以看到，判断直线与圆、圆与圆的位置关系通常需要计算圆心到直线的距离或者两个圆的圆心距，然后与半径进行比较。
- 比如第4题，因为两个圆有三条切线，说明两圆外切，所以圆心距等于半径之和。
- 第6题展示了动态问题，一个小圆沿大圆滚动，分析点M和N的轨迹，这需要理解圆周运动的特点和几何变换。
总结起来，理解和掌握直线与圆、圆与圆的位置关系是解决这类问题的关键，这涉及到圆的标准方程、直线与圆的方程联立以及圆心距和半径的几何意义。通过这些基础概念和解题技巧，可以有效地解答相关问题。在高考复习中，通过多做练习题，加强实际操作，有助于提高对这些知识的应用能力。
