2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.2函数的单调性与最值

在高中数学复习中，函数的单调性和最值是极为重要的概念，它们对于理解和解决复杂的数学问题至关重要。在2014年的高考一轮复习中，这一主题被特别强调为热点和难点，因为它涉及到深入理解函数性质并能灵活运用这些性质来解决问题。 函数的单调性是指在一个特定区间内，函数值随自变量的增加或减少而增加或减少的性质。证明函数的单调性通常有两种主要方法：定义法和导数法。定义法涉及四个步骤：取值、作差、定号和判断。例如，取两个自变量值x1和x2，比较f(x2)与f(x1)的大小，通过分析差值的符号来确定函数的单调性。而导数法适用于可导函数，通过计算导数值的正负来判断函数的增减性。 在处理复合函数的单调性时，需要考虑内外函数的单调性。如果外函数在其定义域内单调递增，内函数在给定区间内单调递增，那么整个复合函数也是单调递增的。例如，题目中的函数f(x)=log5(2x+1)，通过分析2x+1和log5t的单调性，可以确定f(x)的单调增区间。 函数的最值问题常常需要结合单调性来解决。在某个区间内，如果函数单调递增，那么函数在区间的最小值可能出现在区间起点；如果函数单调递减，那么最小值可能出现在区间终点。类似地，最大值可能出现在单调性的转折点，如极值点。求解最值通常需要结合导数或二阶导数的性质，如零点、拐点等。 在实际应用中，函数的单调性可以帮助我们比较函数值的大小，确定参数的取值范围，甚至绘制函数图像。例如，如果知道函数在某区间上单调递增，那么可以利用这个信息来比较不同x值对应的函数值，或者根据函数值的大小关系推断自变量的相对大小。 在例题解析中，例如函数f(x)=√(x^2+x-6)，首先需要确保被开方函数大于等于零，然后分析二次函数u=x^2+x-6的单调性，再结合根号函数的单调性确定原函数的单调区间。 另外，对于偶函数的单调性问题，如y=f(x)是偶函数，那么y=f(x-2)在对称区间上的单调性可以通过函数的性质进行推断。如果y=f(x-2)在[0,2]上单调递减，那么在[-2,2]上，由于偶函数的对称性，可以推断出函数值的大小关系。 函数的单调性和最值是高考数学中的核心概念，理解和掌握这些知识点对于考生在考试中取得高分至关重要。通过深入探讨这些概念，学生可以更好地应对各种复杂问题，提高解题能力和逻辑推理能力。在复习过程中，不仅要熟练掌握理论知识，还要通过大量例题训练来巩固和提升实际应用能力。