双曲线是高中数学中一种重要的圆锥曲线，它在高考数学中常常作为考察的重点。双曲线的定义基于两点间距离的差的绝对值，这个定义是区分双曲线与其他圆锥曲线的关键。在2014年高考一轮复习中，深入理解和掌握双曲线的定义和标准方程是至关重要的。
双曲线的定义是：平面内到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数（小于两焦点间距离）的点的集合。这里的"常数"就是双曲线的焦距与实轴长的差。需要注意的是，这个常数代表的是双曲线的任一支，而不是整条双曲线。双曲线有两支，分别位于两个焦点的两侧。
标准方程的求解通常有两种方法：定义法和待定系数法。定义法是直接根据定义构建方程；待定系数法则需要先确定双曲线的位置，再设定方程形式，最后根据题目条件确定系数。
例如，在给定的例题中，动圆M与两个定圆内切和外切，利用两圆心和半径的关系，可以将动圆圆心M的轨迹问题转化为双曲线定义的问题，从而求得动圆圆心M的轨迹方程。
双曲线的几何性质包括了六个关键点（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点）、四条重要线（对称轴、渐近线）以及两个基本图形（由中心、焦点和虚轴端点构成的三角形，以及双曲线上一点和两焦点构成的三角形）。渐近线是双曲线的重要特征，它们定义了双曲线的形状，且与离心率有直接关系。例如，渐近线斜率的平方与离心率的平方成正比。
在处理涉及双曲线的几何性质的问题时，可以利用渐近线简化计算，如求解双曲线方程、判断位置关系等。在例题解析中，通过已知椭圆和双曲线的共同焦点、离心率比和半轴长度差，可以分别建立方程组求解它们的方程。
直线与双曲线的位置关系是高考中的常见题型。求解直线被双曲线截得的弦长或者弦中点轨迹方程，通常需要联立方程组，利用韦达定理和弦长公式进行计算。在给定的第二个例题中，通过解直线与双曲线方程的联立方程组，可以求得弦长，并进一步分析过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。
在解决这类问题时，不仅要熟悉双曲线的几何性质和代数特性，还要灵活运用数形结合、不等式解法等技巧，以应对不同类型的题目。对于参数范围和最值问题，需要敏锐地识别题目中的几何关系，建立合适的不等式模型，然后解不等式来确定参数的取值范围。这是提升数学思维能力，尤其是解决实际问题能力的重要训练。
