山东省乐陵市第一中学2015高中数学 函数的奇偶性（一）学案 新人教A版必修1

【函数的奇偶性】是高中数学中的一个重要概念，主要涉及新人教A版必修1的课程内容。奇函数和偶函数是根据函数满足特定对称性质的分类。以下是相关知识点的详细说明： 1. **奇函数定义**：设函数f(x)，其定义域D关于原点对称（即对任意x∈D，-x也属于D），如果对于D内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。这意味着函数的图像关于原点对称。 2. **偶函数定义**：同样，设函数f(x)，其定义域D关于y轴对称，若对于D内的任意x，都有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。此时，函数的图像关于y轴对称。 3. **判断函数奇偶性的步骤**： - 确定函数的定义域是否关于原点或y轴对称。 - 代入-x验证f(-x)与-f(x)或f(x)的关系。 - 如果关系成立，即可确定函数的奇偶性。 4. **奇偶函数图象特点**： - 奇函数的图象以原点为中心，呈现中心对称的图形。 - 偶函数的图象以y轴为对称轴，形成轴对称的图形。 5. **奇函数在原点的性质**：如果一个奇函数在0处有定义，那么f(0) = 0。 【自我检测】题目中通过具体函数实例检验了奇偶性的判断，如函数f(x) = x^3 + 3x，f(x) = x^2 + 1等，通过计算f(-x)与-f(x)或f(x)的关系来确定函数的奇偶性。 【例题解析】例如，例1中函数f(x) = x^3 - x是奇函数，因为f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -f(x)。而例2要求画出函数图像并判断奇偶性，通常需要通过绘制函数图像来直观地观察其对称性。 【变式训练】如已知f(x) = x^2 + bx + 1是偶函数，根据偶函数的定义，有f(-x) = f(x)，解得b=0。 【达标检测】题目考察了对奇偶函数定义的理解以及如何运用定义判断函数的奇偶性。 通过这些内容的学习，学生应能理解奇函数和偶函数的基本概念，掌握用定义判断函数奇偶性的方法，以及利用函数的奇偶性解决实际问题的能力。同时，还需关注奇偶函数在实际问题中的应用，如在解析几何、方程求解、不等式证明等方面的应用。