【今日目标】本讲主要探讨如何运用二次函数解决实际问题，特别是涉及最值问题和利润最大化的情况。二次函数在实际问题中的应用广泛，包括但不限于计算商品销售利润、确定最佳售价和解决面积最优化问题。
【精彩知识】
1. **二次函数的最值**：在没有限制条件的情况下，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在对称轴处取得最大值或最小值。对于顶点形式的二次函数2ax² + bx + c (a ≠ 0)，最大值或最小值取决于系数a的符号。若a > 0，函数开口向上，最小值为顶点的纵坐标；若a < 0，函数开口向下，最大值为顶点的纵坐标。
2. **利润最值问题**：总利润等于单件利润乘以销售量。例如，商品每上涨1元，销量减少10件，可以通过构建二次函数模型来确定商品的最优售价，从而获取最大利润。在设定的售价范围内，需要分析函数的增减性，找到使利润最大的x值。
3. **分段函数求最值**：当存在多个不同的函数段时，需要分别研究每个函数段的最大值和最小值，并综合比较得到整体的最值。这在商品促销策略中尤为重要，如例3所示，销售单价随着购买量增加而降低，需要根据每个价格段的利润函数来确定最佳的销售策略。
【例1&变式练习】这类问题通常涉及到线性函数与二次函数的结合。通过建立销售利润与售价之间的函数关系，我们可以求解售价为多少时利润最大。对于限制条件（如售价上限），我们需要在限定范围内寻找使利润最大化的x值。
【例2】在这种情况下，利润函数是销售单价x与销量y的乘积。由一次函数关系y = -2x + 100，可以得到利润z关于x的二次函数表达式，通过求导或配方法找到最大利润点。同时，根据问题中的限制条件（如最低利润、最高销售单价），确定自变量x的取值范围。
【例3】此问题涉及到分段函数的最值问题。当x超过一定数量时，销售单价会随购买量下降，这导致利润函数在不同区间有不同的表达式。要使利润随购买量增加而增加，必须确保每个分段函数在其定义域内都是递增的，或者在转折点之前达到最大值。
【例4&变式练习】在面积最值问题中，二次函数常常用于描述图形的变化。例如，通过剪裁正方形制作长方体盒子，可以将问题转化为求函数的极值。对于无盖的长方形盒子，底面积固定，侧面积可能有最大值；对于有盖的长方形盒子，表面积是关注的重点。通过调整剪裁尺寸，可以优化长方体的侧面积或表面积。
二次函数在实际问题中的应用涉及到最值的寻找、利润最大化的决策以及几何形状的优化设计。掌握这些方法有助于解决实际生活中的各种数学问题。
