2022高考数学一轮复习课时规范练44直线与圆圆与圆的位置关系文含解析北师大版202103232154

在高中数学复习中，直线与圆以及圆与圆的位置关系是重要的几何知识点，涉及到直线的方程、圆的标准方程以及两者之间的相互作用。以下是对这些知识点的详细解释： 1. **直线与圆的相切关系**：直线与圆相切意味着直线到圆心的距离等于圆的半径。例如题目中的第一题，直线 $x+y=0$ 与圆 $(x-1)^2+(y-b)^2=2$ 相切，通过设定圆心到直线的距离等于半径可以解出 $b$ 的值。 2. **直线截圆的弦长**：第二题讨论了直线 $x+y-4=0$ 截圆 $x^2+y^2-2x+2y+a=0$ 的弦长小于6的情况，可以通过计算圆心到直线的距离并结合勾股定理来确定 $a$ 的取值范围。 3. **圆与圆的位置关系**：第三题中，通过比较两个圆的半径和圆心距，可以判断圆$(x-3)^2+(y+2)^2=4$与圆$(x-7)^2+(y-1)^2=36$之间的关系，它们可能是相切、内含、外离或相交。 4. **直线分圆区域的面积差最大**：第四题中，直线$l$过点$P(1,1)$，要使得直线将圆形区域$x^2+y^2\leq4$分为两部分，面积差$|S_1-S_2|$最大，需要直线与圆相切并且切点在圆的对称轴上，从而确定直线方程。 5. **直线与圆交点形成的角**：第五题，直线$l:x-\sqrt{3}y-a=0$与圆$(x-3)^2+(y+\sqrt{3})^2=4$交于点$M$和$N$，要求$\angle MPN=\pi/3$，这需要用到圆周角与弦的关系，以及点到直线的距离公式。 6. **切线长度的最小值**：第六题，对于直线$l:y=x-2$上的点$P$到圆$x^2+y^2=1$的切线，切线长度最小时，$P$应位于过圆心且垂直于$l$的直线上，此时$PAB$构成直角三角形，可以计算其面积。 7. **四边形PACB的最小面积**：第七题中，点$P$在直线$kx+y-3=0$上，$PA$和$PB$是圆$x^2+y^2-2y=0$的切线，四边形$PACB$的最小面积对应于$P$在圆心的正上方或正下方，由此可解出$k$的值。 8. **圆心到直线的距离**：第八题，圆心$C$到直线$x+y-m=0$的距离小于$\sqrt{2}/2$，可以利用点到直线的距离公式求解$m$的取值范围，并进一步判断两个圆的位置关系。 9. **直线与圆相切条件**：第九题，直线$(m+1)x+(n+1)y-2=0$与圆$x^2+y^2-2x-2y+1=0$相切，意味着直线的斜率与圆心到直线的距离有关，通过建立等式解出$m+n$的范围。 10. **两点间的距离之差的最大值**：第十题，点$P(t,t-1)$到圆$x^2+y^2=14$和$x^2+y^2-2mx=0$上点$E$和$F$的距离之差$|PF|-|PE|$，可以转化为圆心到直线$t=t-1$的距离加上或减去两圆半径的差。 11. **两点间距离差的最大值**：第十一题，点$P$在$x$轴上，与圆$C_1$和$C_2$上的动点$M$和$N$的距离差$|PN|-|PM|$的最大值，可以通过比较圆心到$x$轴的距离和两圆半径的关系求解。 12. **直线与圆的切线性质**：第十二题，直线$l:y=kx-2$与圆$(x-2)^2+y^2=2$相交，存在点$P$使得切线$l_1$和$l_2$垂直，这涉及直线斜率和圆的切线斜率的关系。 13. **弦长与圆心距**：第十三题，直线$l:x-y+3=0$截圆$(x-a)^2+(y-2)^2=4$的弦长为$2\sqrt{2}$，根据垂径定理，可以计算$a$的值；同时，过点$(3,5)$的切线方程可以通过圆心到直线的距离等于半径来求解。 14. **最短切线长度问题**：第十四题，点$P$在圆$(x-k)^2+(y+k-4)^2=1$上，切线$PQ$最短时，$PQ$应垂直于公共切线，即圆心连线，由此求解$k$的值。 15. **唯一点满足比例关系**：第十五题，圆心在$y$轴上的圆经过$M(0,2)$和$N(1,3)$，直线$l:y=kx$，要求存在唯一点$P$满足$|PO|=\sqrt{2}|PQ|$，这涉及圆的切线性质和点到直线的距离。 以上题目均涵盖了直线与圆、圆与圆的位置关系，包括相切、相交、内含、外离，以及直线截圆的弦长、圆心到直线的距离、切线长度等问题，这些都是高中数学复习的重要内容。解题时需灵活运用点到直线的距离公式、圆的标准方程、圆的切线性质以及直线与圆的位置关系定理。