2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用课时素养评价含解析新人教A版选修2_2202103...

高中数学课程中，导数和定积分是两个关键概念，它们在解决物理问题时具有广泛的应用。本课时主要探讨了定积分在物理学中的实际应用，涵盖了物体运动、力做功等多个方面。 1. 定积分可以用来计算物体在一定时间内的位移。例如，在物体以速度 \(v(t)=3t^2-2t+3\) 做直线运动的情况下，通过定积分 \(\int_{0}^{3}(3t^2-2t+3)dt\) 可以得到物体在 \(t=0\) 至 \(t=3\) 秒间的位移，计算结果为 \(27\) 米。 2. 对于速度函数 \(v(t)=2t+1\) 的物体，同样利用定积分 \(\int_{1}^{2}(2t+1)dt\) 可以求出物体在 \(1\) 至 \(2\) 秒内所走过的路程，答案为 \(4\) 米。 3. 当一个物体在力 \(F(x)=4x-1\) 的作用下沿相同方向移动时，力所做的功可表示为 \(\int_{1}^{3}(4x-1)dx\)，计算得 \(14\) 焦耳。 4. 若物体的变速运动速度函数为 \(v(t)=t^2\)，其在 \(0\) 至 \(a\) 时间内经过的路程可以通过 \(\int_{0}^{a}t^2dt\) 求得，当答案为 \(9\) 时，\(a\) 的值为 \(3\)。 5. 弹簧的伸长与力的关系遵循胡克定律，通过定积分可以计算克服弹力所做的功。如果 \(1\) 牛的力可以使弹簧伸长 \(2\) 厘米，那么使弹簧伸长 \(12\) 厘米的功为 \(\int_{0}^{0.12}50xdx = 0.36\) 焦耳。 6. 一个物体在变力 \(F(x)=2x+4\) 的作用下从 \(x=0\) 移动到 \(x=5\)，其力所做的功是 \(\int_{0}^{5}(2x+4)dx + \int_{0}^{5}(x^2+2x)dx\)，计算得出 \(72\) 焦耳。 这些例子展示了定积分在物理学中的重要性，它可以帮助我们解决与速度、加速度、力和功相关的问题。通过求解定积分，我们可以精确地计算出物体的位移、路程、以及在力的作用下所做的功。在实际应用中，这些概念对于理解和解决各种物理现象至关重要。