【概率与统计】是高中数学中的重要组成部分,主要研究随机现象和数据的统计分析。在高考复习中,这个专题的训练对于提升学生的数据分析能力和解决实际问题的能力至关重要。
1. **中位数**:中位数是一组数据从小到大排列后处于中间位置的数值,可以反映数据集中趋势的一般水平。在茎叶图中,找到中间位置的数据来确定中位数。题目中10位同学的身高数据可以通过茎叶图进行分析,计算出中位数为162 cm。
2. **线性回归方程**:线性回归用于描述两个变量之间的线性关系。根据表格中y(所减分数)随x(考试次数)的变化趋势,可确定y与x之间的负相关关系。由题意知,y随x的增加而减少,因此斜率为负,排除A和B选项。通过比较C和D选项,选择斜率更合适的一个,最终确定线性回归方程为y = -0.7x + 5.25。
3. **分层抽样**:这是一种按照比例从不同层中抽取样本的方法。若要从总人数比为5:4:5:6的四个年级中抽取200名学生,一年级应抽取的人数为200 * (5 / (5+4+5+6)) = 50名学生。
4. **二项展开式**:5的二项展开式为(1+x)^5,x^7项的系数为C(5,7) * 1^(5-7) * x^7 = C(5,2) * x^2。由题意知,C(5,2) * 1^2 = 10 * a = -10,解得a = -1。
5. **等差数列的方差**:随机变量ξ等可能取等差数列x1, x2, ..., x19的值,其方差D(ξ)等于公差d的平方除以n(n+1)(2n+1),其中n=19。代入d和n,可得D(ξ) = d^2 * (19*20*39)/(19*20*39) = d^2。
6. **系统抽样**:系统抽样时,若第5组抽出的号码为22,则每组间隔为22/4 = 5.5,第8组的号码应是22 + (8-5) * 5.5 = 33。40岁以下年龄段的职工占总人数的比例为160/200=0.8,故应抽取40 * 0.8 = 32人。
7. **频率分布直方图**:由题意知,样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,样本共分为6组,每组代表的频率相同,因此样本容量为11 * 6 = 66。样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为样本容量减去低于25.5℃的组数,即66 - (3+4) = 55。
8. **几何概型**:在区间[1,5]和[2,4]上分别取m和n,使得方程x^2/m + y^2/n = 1表示焦点在x轴上的椭圆,即n>m。该事件构成的区域面积为(4-2)*(5-1)=8,总区域面积为(5-1)*(4-2)=8。因此,所求概率为8/8 = 1。
9. **概率与分布列**:(1)三张卡片数字相同的概率为取3个1或3个2的概率,分别是C(4,3) * C(3,0) / C(9,3)和C(3,3) * C(2,0) / C(9,3)。(2)中位数X的可能值为1,2,3,计算每种情况的概率,构建X的分布列,然后计算期望E(X)。
10. **独立事件与期望**:(1)至少3人需使用设备的概率包括3人和4人使用设备的概率,分别计算两种情况并相加。(2)X表示需使用设备的人数,X可能取0,1,2,3,4。计算X的分布列,进而求出数学期望E(X)。
以上是对高考数学概率与统计专题中涉及的知识点的详细解释,包括中位数的计算、线性回归方程的确定、分层抽样、二项展开、等差数列的方差、系统抽样、频率分布直方图的理解、几何概型、概率分布列以及独立事件的概率和期望。这些知识点是高中数学复习的重点,对理解和应用概率统计概念有着重要作用。