四川省成都市高中数学第三章导数及其应用综合检测新人教A版选修1_1
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【知识点详解】 1. **导数的物理意义**:题目中的第1题和第9题涉及到导数在物理中的应用,导数可以表示物体运动的速度关于时间的变化率,即瞬时速度。例如,第1题中,物体的速度方程为 \( v = t^4 - 3 \),求的是 \( t = 5 \) 时刻的瞬时速度,通过求导可得速度对时间的导数,即加速度 \( v' = t^3 \),将 \( t = 5 \) 代入得瞬时速度为 \( v' = 125 \)。 2. **导数与函数单调性的关系**:第2题和第10题讨论了导数与函数单调性之间的关系。如果一个函数的导数在整个定义域内非负,那么函数在该区间上单调递增;反之,如果导数非正,则函数单调递减。第2题中,函数 \( f(x) = x^3 + ax + 4 \),其导数 \( f'(x) = 3x^2 + a \),当 \( a > 0 \) 时,\( f'(x) \geq 0 \) 恒成立,所以 \( a > 0 \) 是函数单调递增的充分条件。 3. **切线的斜率与导数的关系**:第3题通过求函数 \( y = \sqrt{x} \) 的导数,来确定在点 \( (1, -2) \) 处的切线方程。切线的斜率等于函数在该点的导数值,从而得出切线方程为 \( y = 4x - 4 \)。 4. **函数单调增区间的求解**:第4题中,求解函数 \( y = 3x - x^3 \) 的单调递增区间,通过对导数 \( y' = 3 - 3x^2 \) 进行分析,找到使导数大于0的区间,得到 \( (-1, 1) \) 是函数的单调递增区间。 5. **导数的图形特征**:第5题涉及了函数图像与其导数图像的关系。根据原函数的增减性,可以推断出导数的符号变化,从而判断导数图像可能的形状。 6. **切线平行的几何意义**:第6题中,曲线 \( f(x) = \sqrt{x^3} \) 在某点处的切线与直线 \( x - ay + 1 = 0 \) 平行,意味着两直线的斜率相等,通过求导并解方程可得 \( a \) 的值。 7. **利用导数研究函数单调性**:第7题讨论了函数 \( f(x) = x^3 + ax - 2 \) 在区间 \( [1, +\infty) \) 上是增函数的条件。要求函数单调递增,导数 \( f'(x) = 3x^2 + a \) 必须大于等于0,由此求得 \( a \) 的取值范围。 8. **判断函数增减性的方法**:第8题通过分析函数 \( y = x\cos x - \sin x \) 的导数 \( y' = -x\sin x \) 来确定增区间,发现 \( y' \geq 0 \) 在区间 \( (π, 2π) \) 内恒成立,所以 \( (π, 2π) \) 是函数的增区间。 9. **函数极值的求解**:第9题通过求解函数 \( y = -x^3 + 6x^2 + m \) 的导数来确定极大值点,进而计算出 \( m \) 的值。极大值点是导数为0的点,且附近导数符号改变,通过计算得出 \( m = -19 \)。 10. **不等式的解集**:第10题中,利用函数 \( f(x) \) 的导数小于1,构造新函数 \( g(x) = f(x) - x \),分析 \( g(x) \) 的单调性,进而确定不等式 \( f(x) < x + 1 \) 的解集。 11. **不等式比较**:第11题给出了一个基于函数 \( f(x) \) 的不等式比较问题,利用函数 \( g(x) = \frac{f(x)}{x} \) 的导数分析,证明了 \( af(b) \leq bf(a) \) 当 \( a < b \) 且 \( f(x) \) 非负可导。 12. **方程根的存在性与参数范围**:第12题中,通过分析函数 \( f(x) = x^3 - 3x + m \) 的导数,找出其在区间 \( [0, 2] \) 内的极值,进而确定使得 \( f(x) = 0 \) 有解的 \( m \) 的取值范围。 这些题目综合考察了导数的概念、性质、应用以及与函数单调性、极值、切线和不等式解集等相关知识,是高中数学中导数及其应用的重要内容。
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