在数学的初中阶段，一元二次方程是一个重要的知识点，特别是在中考复习中更是如此。一元二次方程的标准形式是ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a≠0。对于这类方程，根的判别式Δ=b² - 4ac在判断方程根的性质上起着关键作用。
1. 当Δ > 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
2. 当Δ = 0时，一元二次方程有两个相等的实数根（也称为重根）。
3. 当Δ < 0时，一元二次方程没有实数根，但有虚数根。
在填空题中，题目考察了这些基本概念。例如，当p² - 4q = 0时，方程x² + px + q = 0有两个相等的实数根。在题目给出的2x² - 3 = 4x中，通过移项得到2x² - 4x - 3 = 0，应用根的判别式可以判断其根的情况。
选择题部分则进一步测试了对判别式和一元二次方程解的性质的理解。例如，选项（1）的判别式是b² - 4ac，选择C；选项（2）要求m的值使得方程有两个不相等的实数根，因此需满足m ≠ 0且Δ > 0，即m < 4且m ≠ 0，选择D；选项（3）要求方程无实数根，所以Δ < 0，即k < -1且k ≠ 0，选择B；选项（4）要求有两个实数根，所以Δ ≥ 0，即m ≤ 8/9，选择C；选项（5）要求有两个不相等的实数根，根据k-1 ≠ 0且Δ > 0，得出k的最大整数值为2，选择D。
解答题部分涉及到不解方程判断根的情况，如通过观察判别式或直接因式分解来确定。例如，方程y² - 2y + 1 = 0的判别式Δ = 0，所以它有一个重根；而方程x² - 2x + 1 = 0可以通过完全平方公式(x - 1)²直接看出它有两个相等的实数根1。
对于方程41x² - (m - 2)x + m² = 0，当有两个不相等的实数根时，Δ > 0，即(m - 2)² - 4 * 41 * m² > 0，解这个不等式可得m的取值范围。若有两个相等的实数根，Δ = 0，解出m的值，并代入原方程求解。若没有实数根，Δ < 0，解出m的最小整数值。
对于方程(a² + 1)x² - 2ax + (a² + 4) = 0，由于a² + 1 > 0，判别式Δ = 4a² - 4(a² + 4) < 0恒成立，证明该方程没有实数根。
在方程x² - 2mx - 3m² + 8m - 4 = 0中，当m > 2时，通过判别式分析根的情况。若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，可以设立不等式组来求解m的取值范围。
关于k的几个问题，分别要求正整数k、负整数k和正数k，使得相应的方程有特定类型的根，这同样需要利用根的判别式来解决。
总结来说，本练习主要考察了一元二次方程根的判别式及其应用，包括填空、选择和解答题等多种题型，旨在帮助学生深入理解和掌握一元二次方程的解法和性质，为中考做好充分准备。
