大的值 -3.7.证明 (1)由绝对值三角不等式知 f(x)=|x+a|+|2x-b| ≥ |x+a+2x-b|=|3x+a-b|,当且仅当 (x+a)(2x-b)≥0 时取等号.由于 f(x) 的最小值为 1,则 |3x+a-b| 的最小值也为 1,即 |a+b| = 2.又 a > 0, b > 0, 所以 2a + b = 2.
(2)要使 a+2b≥tab 恒成立,即需 (a+2b)min ≥ tab.由(1)知 a+2b = 2,则只需 2 ≥ tab.因为 t(a+b) = ta + tb ≤ (t+1/ta)(a+b) = a/t + b + ta + 1/b,取等号当且仅当 a/t = b = 1/(ta),即 ta^2 = b^2 = 1/(ta)^2.于是有 a/t + ta + 2 = 2ta^2/(t+1) + 2 ≥ 2,当且仅当 ta^2 = 1 时取等号.解得 t = 1,因此实数 t 的最大值为 1.
8.解 (1)当 a=1 时,不等式 g(x)≥f(x) 即 x^2 + x ≥ |x+1| + |x-1|.考虑分段处理:
- 当 x ≤ -1 时,不等式变为 x^2 + x ≥ -(x+1) - (x-1),即 x^2 + x ≥ -2,解得 x ≤ -1;
- 当 -1 < x < 1 时,不等式变为 x^2 + x ≥ x+1 - (x-1),即 x^2 + x ≥ 2,解得 x ≥ 1(舍去) 或 x ≤ -2(舍去);
- 当 x ≥ 1 时,不等式变为 x^2 + x ≥ x+1 + (x-1),即 x^2 ≥ 0,解得 x ≥ 1.
综合以上情况,不等式 g(x)≥f(x) 的解集为 {x|x ≤ -1 或 x ≥ 1}.
(2)已知 f(x) = |ax+1| + |x-a|,由绝对值的性质知 f(x) ≥ |ax+1 - (x-a)| = |(a-1)x + a + 1|.由于 a > 0, 取 x = (a+1)/(1-a) 时, f(x) 取得最小值 |a+1|,因此要使 f(x) ≥ ,只需 |a+1| ≥ ,解得 a ≥ -1 + √2 或 a ≤ -1 - √2(舍去,因 a > 0).
综上所述,我们分析了多个与不等式相关的函数问题,涉及到了绝对值不等式的解法、恒成立问题以及函数最值的求解.这些题目主要考察了学生的逻辑推理能力和对不等式性质的理解与应用.通过这样的练习,考生能够提升对不等式选讲部分的掌握程度,为高考数学的复习打下坚实的基础.
