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斜率优化v2022.pptx

斜率优化

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斜率优化DP

例1 最大平均值问题

题目大意：读入一列正整数，a1, a2, …, aN，以及整数F。求一段长度大于等于F且平

均值最大的子串。

定义若i≤j，ave(i, j) = (ai+…+aj) / (j-i+1)

目标：Max{ave(a, b) | a ≤ b-F+1}

范围：F ≤ N ≤ 100 000

Sample Input Sample Output

4 2 //N, F

2 5 2 5

初步分析

O(N^2)算法

枚举一个b ：称为检查点

枚举符合条件a ：称为被检查点，被检查点构成检查集合

条件即为 a ≤ b-F+1

同时检查ave(a, b)

目标图形化

设部分和序列S

为{a

}前i项和，S

ave(i, j) = [S

- S

i-1

] /[j - (i-1)]

过两点的直线：P

i-1

(i-1, S

i-1

)，P

(j, S

)

问题转化：

平面上已知N+1个点，P

(i, S

)，0≤i≤N

求横向距离大于等于F的两点连线的最大斜率

斜率公式

！

目标图形化

数列{a

}=(2, 5, 2, 5)，F=2

部分和{S

}=(0, 2, 7, 9, 14)

(0, 0)

(1, 2)

(2, 7)

(3, 9)

(4, 14)

ave(2, 4) =k(P

)=4

距离3

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