3、 根据节点选取原则,对问题(2)用三点插值或二点插值,其结果如何;
4、 对此插值问题用 Newton 插值多项式其结果如何。
二、问题分析:
Lagrange 插值多项式的表达式:
L(x)
y
i
l
i
(x) ,
i1
n1
l
i
(x)
j1
ji
n1
(x x
j
)
(x
i
x
j
)
, i 1,2, , n 1
。
其中
l
i
(x)
被称为插值基函数,实际上是一个 n 次多项式。
l
i
(x)
的这种表示具有
较好的对称性。公式具有两大优点:(1)求插值多项式,不需要求解线性方程组,
当已知数据点较多时,此公式更能显示出优越性。(2)函数值可以用符号形式表
示,数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。
Newton 插值多项式如下:
其中:
N
n
(x) f (x
0
)
f [x
0
,
, x
k
]
k 1
n
(x x
j
)
j0, jk
k 1
f [x
0
,
, x
k
]
i0
k
(x
i
x
j
)
j0, ji
k
f (x
i
)
Newton 插值多项式的优点是:当每增加一个节点时,只增加一项多项式。
三、实验程序及注释
1、m 程序:
function [c,l]=lagran(x,y)
% x 为 n 个节点的横坐标组成的向量,y 为纵坐标所组成的向量
% c 为所得插值函数的系数所组成的向量
w=length(x);
n=w-1;
l=zeros(w,w);
for k=1:n+1
v=1;
for j=1:n+1
if k~=j
v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));
end
end
l(k,:)=v;
end
c=y*l;