在高中数学中，函数的定义域是函数值可以取的所有可能的自变量的集合。求解函数定义域是一项基础但重要的任务，它涉及到对函数性质的理解以及解不等式的能力。以下将详细讲解如何求解高一阶段涉及的几种类型的问题。
1. 已知 f(x) 求 f[g(x)] 的定义域：
当我们已知函数 f(x) 的定义域，例如 (1, 2)，我们需要找到 g(x) 的值域，使得 f[g(x)] 有意义。例如，如果 g(x) = 2x + 5，我们可以将 g(x) 视为一个新的变量 y，即 y = 2x + 5，那么 f(y) 的定义域也是 (1, 2)。解不等式 1 < y < 2 得到 1 < 2x + 5 < 2，从而得出 x 的定义域为 (-2, -3/2)。
2. 已知 f[g(x)] 求 f(x) 的定义域：
如果我们已知 f(2x + 5) 的定义域是 (1, 2)，那么我们需要找出所有满足 1 < 2x + 5 < 2 的 x 值，解不等式得 1 < x < 9/2，因此 f(x) 的定义域是 (1/2, 9/2)。
3. 已知 f(x) 求 f[g(x)] 的解析式：
当 f(x) = x + 1，我们想要找到 f(2x + 5) 的解析式，只需将 2x + 5 代入 f(x) 中，得到 f(2x + 5) = 2x + 5 + 1 = 2x + 6。
4. 已知 f[g(x)] 求 f(x) 的解析式：
假设 f(2x + 5) = x + 1，我们首先需要将 f(g(x)) 转换为关于 x 的形式。通过解方程 2x + 5 = 2y，得到 x = (y - 5)/2，代入原方程得 f(y) = (y - 5)/2 + 1，化简后得 f(x) = x/2 - 3/2。
5. 复杂的函数组合：
对于更复杂的函数组合，如 f(x+1)、f(x-1) 或 f(x+1/4)·f(x-1/4)，我们需要确保每个组成部分的定义域都包含在最终结果的定义域内。例如，如果 f(x) 的定义域是 [-2, 2]，那么 f(x+1) 和 f(x-1) 的定义域分别是 [-1, 3] 和 [-3, 1]。对于 y = f(x+1) + f(x-1)，我们需要找到同时满足这两个定义域的 x 值，即 [-2, 2] ∩ [-1, 3] = [-1, 2]，因此 y 的定义域是 [-1, 2]。
6. 分数形式的函数定义域：
当函数形式为 f(2x)/x-1，我们需要确保分母不为零，即 x ≠ 1。如果 f(x) 的定义域是 [0, 2]，那么 0 ≤ 2x ≤ 2，x 的范围是 [0, 1]。结合分母条件，我们得到 x 的定义域为 [0, 1)。
总结来说，求解函数定义域的关键在于理解函数的性质，正确处理不等式，并注意保持函数的定义域始终有效。对于复合函数，我们需要分别考虑外层函数和内层函数的定义域，并找到它们的交集。同时，处理分数形式时，不能忽略分母为零的情况。这些方法有助于高中生更好地理解和解决与函数定义域相关的数学问题。
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