高中数学函数定义域、值域求法总结.doc

高中数学函数定义域、值域求法总结 函数定义域是函数 y=f(x) 中 x 的取值范围，是函数存在意义的必要条件。为求函数的定义域，需要从多方面入手： 1. 分母不为零 2. 偶次根式的被开方数非负 3. 对数中的真数部分大于 0 4. 指数、对数的底数大于 0，且不等于 1 5. y=tanx 中 x≠kπ+π/2；y=cotx 中 x≠kπ 等等 函数值域是函数 y=f(x) 中 y 的取值范围。常用的求值域的方法有： 1. 直接法 2. 图象法（数形结合） 3. 函数单调性法 4. 配方法 5. 换元法（包括三角换元） 6. 反函数法（逆求法） 7. 分离常数法 8. 判别式法 9. 复合函数法 10. 不等式法 11. 平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法： 1. 直接定义域问题 例 1 求下列函数的定义域： ① 21)(￿￿ xxf ② 23)(￿￿xxf ③ xxxf￿￿￿￿211) 解：①∵x-2=0，即 x=2 时，分式21￿x 无意义，而2￿x 时，分式21￿x 有意义，∴这个函数的定义域是￿￿2|￿xx. ②∵3x+2<0，即 x<- 32 时，根式23 ￿x 无意义，而023￿￿x，即32￿￿x 时，根式23 ￿x 才有意义，∴这个函数的定义域是{ x |32￿￿x}. ③∵当0201￿￿￿￿xx 且，即1￿￿x 且2￿x 时，根式1￿x 和分式x￿21 同时有意义，∴这个函数的定义域是{ x |1￿￿x 且2￿x} 例 2 求下列函数的定义域： ①14)(2 ￿￿￿xxf ②2143)(2￿￿￿￿￿xxxxf ③￿)(xfx11111￿￿ ④xxxxf￿￿￿0)1()( ⑤373132￿￿￿￿￿xxy 解：①要使函数有意义，必须：142 ￿￿ x 即： 33￿￿￿x ∴函数14)(2 ￿￿￿xxf 的定义域为： [3,3￿] ②要使函数有意义，必须：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿13140210432xxxxxxx且或 4133￿￿￿￿￿￿xxx 或或 ∴定义域为：{ x|4133￿￿￿￿￿xxx 或或} ③要使函数有意义，必须： 011110110￿￿￿￿￿￿￿xxx 2110￿￿￿￿￿￿xxx ∴函数的定义域为：}21,1,0|{￿￿xxx Rxx且 ④要使函数有意义，必须： ￿￿￿￿￿￿001xxx ￿￿￿￿￿￿01xx ∴定义域为：￿￿011|￿￿xxx 或 ⑤要使函数有意义，必须： ￿￿￿￿￿￿073032xx ￿￿￿￿￿37xRx 即 x<37￿ 或 x>37￿ ∴定义域为：}37|{￿￿xx2 定义域的逆向问题： 例 3 若函数aaxaxy12￿￿￿的定义域是 R，数 a 的取值范围 解：∵定义域是 R，∴恒成立，012￿￿￿aaxax∴￿￿￿￿￿￿￿￿2001402aaaaa等价于 练习：322log￿￿mxxy定义域是一切实数，则 m 的取值范围 复合函数定义域的求法： 例 4 若函数)(xfy ￿的定义域为[￿1，1]，求函数)41( ￿￿xfy)41( ￿￿xf的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿xxxxx∴函数)41( ￿￿xfy)41( ￿￿xf的定义域为：￿￿￿￿￿￿4343|xx 例 5 已知 f(x)的定义域为[－1，1]，求 f(2x－1)的定义域 分析：法则 f 要求自变量在[－1，1]取值，则法则作用在 2x－1 上必也要求 2x－1 在 [－1，1]取值，即－1≤2x－1≤1，解出 x 的取值围就是复合函数的定义域 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x－1≤1，解之 0≤x≤1，∴f(2x－1)的定义域为[0，1] 例 6 已知 f(x)的定义域为[－1，1]，求 f(x2)的定义域 分析：f(x)中的 x 与 f(x2)中的 x 不是同一个 x，即它们意义不同 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤x2≤1，解之 0≤x≤1 或 -1≤x≤0，∴f(x2)的定义域为[0，1]或[-1，0]