【高中数学知识点总结：空间向量与立体几何】
空间向量是高中数学中重要的概念，它将几何问题转化为代数问题，使得复杂的空间问题可以通过计算来解决。在立体几何部分，向量的应用尤为关键。
一、空间向量基础
1. 向量定义：空间向量与平面向量类似，具有大小和方向，用有向线段表示。如果方向相同且长度相等，则称这两个向量相等或一样。
2. 空间向量基本定理：
- 如果三个向量不共面，那么对于空间中的任何向量，都可以找到唯一一组实数x、y、z，使得该向量可以表示为这三个向量的线性组合。这样的三个向量称为空间的一个基底。
- 正交基底：基底中的三个向量两两垂直，称为正交基底。若这三个向量都是单位向量，那么称为单位正交基底，通常用e1、e2、e3表示。
- 空间四点共面：若O、A、B、C不共面，对任意点P，存在唯一有序实数组x、y、z，使得P可以表示为这四个点的向量组合。
3. 共线向量（平行向量）：
- 定义：向量所在直线平行或重合即为共线向量，记作λv。
- 规定：零向量与任何向量共线。
- 共线向量定理：两个向量平行的充要条件是存在实数λ，使得v = λu。
4. 共面向量：
- 定义：能平移到同一平面的向量是共面向量，所有空间向量都是共面向量。
- 向量与平面平行：向量平行于平面α表示为v∥α。
- 共面向量定理：两个向量不共线，它们与第三个向量共面的充要条件是存在实数x、y，使得v = xu + yw。
- 推论：P点在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使得P的向量表示为xμ + yν，或以固定点O为原点时，P的向量表示为OP = xμ + yν。
5. 向量夹角与数量积：
- 向量夹角：两个非零向量u、v的夹角θ，满足cosθ = (u•v) / (|u| |v|)，0°≤θ≤180°。
- 数量积定义：u•v = |u| |v| cosθ，是实数，等于向量模长与其夹角的余弦值的乘积。
- 数量积性质与运算律：数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律。
二、向量运算
1. 向量加法与减法：
- 加法：u + v表示起点相同的两个向量的和，终点位于两向量的终点位置。
- 减法：u - v表示向量u沿着v反向延长至与v起点相同，再从v起点指向u终点的向量。
2. 数乘向量：
- 定义：k·v表示实数k与向量v的乘积，方向与v相同或相反，模长为k倍的v的模长。
3. 运算律：加法交换律、结合律，数乘分配律。
三、空间向量的应用
1. 向量法：利用空间向量的基本定理，可以将几何问题转化为向量运算，简化问题的解决。
2. 坐标表示：在空间直角坐标系中，每个点P可以通过(x, y, z)坐标表示，向量也可以通过坐标表示，便于进行坐标运算。
空间向量与立体几何的结合，使得复杂的几何问题可以通过代数方法解决，如求距离、证明线面平行或垂直、找最短路径等。学习这部分知识时，应重点掌握向量的定义、性质、运算及其在空间几何中的应用，同时注意向量运算与实数运算的区别，灵活运用数量积的性质和运算律。通过练习和理解，可以提高解题的效率和准确性。
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