选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点.doc资源-CSDN文库

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3.1　空间向量及其运算知识点

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)单位向量：模为

1

的向量称为单位向量

(3)相等向量：方向相同且模相等的向量．

(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．

(5)共面向量：平行于同一个平面的向量．

2.空间向量的加法、减法与数乘运算

向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则

向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量

.

运算律：①加法交换律：a＋b＝b＋a② 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③ 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.

3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λb.

推论：点 P 在直线 AB 上的充要条件是：

存在实数 λ，使得 ①

或对空间任意一点 O,有 ②

或对空间任意一点 O，有其中 x＋y＝1③

【推论③推导过程：】

(2)共面向量定理

如果两个向量 a，b 不共线，那么 p 与 a，b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对

（

x,y

）

使 p＝xa＋yb

推论：空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是

存在唯一有序实数对

（

x,y

）使

，

或对空间任意一点 O，有

或对空间任意一点 O，有，其中 x＋y＋z＝1

【推论③推导过程：】

(3)空间向量基本定理

如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc

基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

4．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

① 两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的

夹角，记作〈a，b〉，其 X 围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.

② 两向量的数量积：已知空间两个非零向量 a，b，向量 a，b 的数量积记作 a·b，且 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

5．空间向量的坐标表示及应用

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