线段的垂直平分线与角平分线.docx

【线段的垂直平分线与角平分线】是几何学中的基本概念，它们在几何证明和作图中扮演着重要角色。 1. **线段垂直平分线的性质**： - **性质定理**：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。这可以通过数学表达式来表示，例如，如果CD是线段AB的垂直平分线，且AD=BD，那么AC=BC。 - **判定定理**：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。如图2所示，如果AC=BC，可以断定点C在线段AB的垂直平分线m上。 2. **线段垂直平分线的推论**： - **三角形三边垂直平分线性质**：三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等。这有助于证明三角形内的线段相等。 - **交点与三角形形状关系**：根据三角形是锐角、直角还是钝角，其三边垂直平分线的交点分别位于三角形内部、斜边中点或外部。 3. **角平分线的性质**： - **性质定理**：角平分线上的点到角的两边的距离相等。例如，如果OE是∠AOB的角平分线，F是OE上的一点，且CF和DF分别垂直于OA和OB，那么CF=DF。这在证明线段相等和几何作图中很有用。 - **判定定理**：在角内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上。这意味着如果点P在∠AOB内部且PC和PD分别垂直于OA和OB，且PC=PD，那么点P在∠AOB的角平分线上。 4. **三角形角平分线的定理**： - **交点性质**：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三边的距离相等，这称为内心的性质，也是内切圆的圆心。 - **交点位置与三角形形状关系**：三角形三个内角的角平分线的交点总在三角形内部，该点称为三角形的内心。 5. **作图技巧**： - 能够画出已知线段的垂直平分线。 - 能够画出已知角的角平分线。 - 解决涉及线段垂直平分线和角平分线的复杂几何问题。 通过这些知识点，我们可以解决如例题所示的几何问题，例如计算线段长度、证明两个角相等或者确定特定角度的大小。跟踪练习中的问题进一步巩固了这些概念的应用。通过实际操作，可以加深对这些几何性质的理解和掌握。