从给定的文件信息来看，这是一份关于“信号与系统”课程的试题与答案解析，涉及了信号处理、系统分析、线性时不变系统、稳定性、因果性、频域变换等多个核心概念和理论。下面将对这些知识点进行详细的解释和分析。
### 一、信号与系统的线性与时不变性
在第一题中，通过给出的函数表达式来判断系统的线性和时不变性。线性是指系统满足叠加原理，即如果输入是两个信号的线性组合，那么输出也是这两个信号经过系统后的输出的相同线性组合。时不变性则意味着系统的行为不会随着时间的推移而变化，即无论信号何时进入系统，系统的响应都是相同的。
**线性判断：**
\[
\begin{align*}
T(k_1e^{t} + k_2e^{-t}) &= T(k_1e^{t}) + T(k_2e^{-t}) \\
&= k_1r(t) + k_2r(-t) \\
&= k_1r(t) + k_2r(t)
\end{align*}
\]
这里假设\(r(-t) = r(t)\)，即\(r(t)\)是偶函数，则系统是线性的。
**时不变性判断：**
\[
\begin{align*}
T(e^{at}) &= re^{at} \\
T(e^{a(t-t_0)}) &= r(t-t_0)e^{a(t-t_0)} \\
&= r(t)e^{a(t-t_0)}
\end{align*}
\]
由于输出随着输入时间的偏移而发生了相同的偏移，故系统是时不变的。
### 二、系统稳定性与因果性
系统的稳定性是指当输入信号的幅度有限时，输出信号的幅度也必须有限。在第三题中，系统稳定的条件是如果输入信号的能量有限，那么其经过系统的输出能量也应有限。因果性则是指系统的输出只能依赖于当前和过去的输入，不能依赖于未来的输入。
### 三、频域变换
第四至第六题涉及到的是频域变换，包括傅里叶变换和拉普拉斯变换。例如，第五题中的傅里叶变换对：
\[
\begin{align*}
1 &\Leftrightarrow 2\pi\delta(\omega) \\
e^{-j\omega t} &\Leftrightarrow 2\pi\delta(\omega+\omega_0)
\end{align*}
\]
这里，\(\delta(\cdot)\)是狄拉克δ函数，用于表示单位冲激函数。这些变换关系对于理解信号的频谱特性以及设计滤波器非常重要。
### 四、系统函数与收敛域
第十题中，系统函数\(F(z)\)被分解为部分分式，从而可以更容易地分析系统的稳定性和因果性。收敛域决定了系统函数在哪些区域内是有意义的。如果系统的极点位于收敛域之外，则系统是不稳定的；如果所有极点都在单位圆内，则系统是稳定的且因果的。
### 五、输入输出关系
最后一题讨论了系统的输入输出关系，特别是零输入响应和零状态响应的概念。零输入响应是由系统内部初始状态产生的输出，而零状态响应是由外部输入信号产生的输出。通过解方程组，可以找到系统对特定输入的完整响应。
“信号与系统”课程涵盖了信号处理的基础理论，包括信号的分析、系统的特性分析、频域变换以及系统函数的性质。理解和掌握这些知识点对于从事通信工程、电子工程等领域的工作至关重要。
