于慧敏主编＜信号与系统＞第二章作业(P69－75) 习题解答
2.18-2.26
2.18 已知某连续时间 LTI 系统，当输入为如图 2-44（a）所示的 时，输出为如图 2-44
（b）所示的
。现若给该系统施加的输入信号为
)(
1
tx
()[)(
1
ty )]1()(sin)(
2
−
−
π
=
tutx tut ，求系统
的输出响应
。 )(
2
ty
解：由
)2()(
)(
1
−−= tt
dt
tdx
δδ
， )3()2()1()(
)(
1
−+−−−−= tutututu
dt
tdy
，可得
系统的单位脉冲响应为：
)1()()(
−
−
=
tututh
当输入为
)]1()([sin)(
2
−
−
=
tututtx
π
时
系统的输出为
)]2()([
cos1
)(*)()(
22
−−
−
== tutu
t
thtxty
π
π
；
2.19 如图 2-45 所示电路，t<0 时，开关位于“1”且已达到稳定，t=0 时刻开关自“1”转
自“2”。
（1）写出一个微分方程，可在 -∞< t <+∞ 时间内描述系统；
（2）试求系统 t>0 时的零状态响应和零输入响应及完全响应。
解：（1）由图可出系统的微分方程：
)()(
1)(
)( tedi
Cdt
tdi
LtRi
t
=++
∫
∞−
ττ
其中 Ω= 1
R
，C ，F1=
H
L 2= ， )(1010)( tute
+
=
于是有，
)(1010)()(
)(
2 tuditi
dt
tdi
t
+=++
∫
∞−
ττ
两边求导有，
)(5)(
2
1)(
2
1)(
2
2
tti
dt
tdi
dt
tid
δ
=++ ；
（2）因为
时，系统已达到稳定，有0<t 0)0(
=
−
i ，且 0)0(
)(
0
==
−
=
−
L
t
u
dt
tdi
L ，即
0)0(
'
=
−
i
此系统的初始状态为零，零状态响应即为完全响应；当
0
=
t 时，开关由位置“1”转至位置
“2”
激励电压
由10 跳变为 ，由于电容两端电压不能跳变，即 ，又流过
电感的电流不能跳变，即
)(te V V20
)0
10)0( =
+c
u
0)0((
=
=
+
i
−
i ，电阻两端电压为 00( )0() =
=
+
Ri
+R
u
