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数学-概率压轴大题.pdf
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数学-概率压轴大题.pdf
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第 33 讲 概率压轴大题
目录
【题型一】 马尔科夫链基础模型 ......................................................................................... 2
【题型二】 马尔科夫链之传球模型 ..................................................................................... 4
【题型三】 游走模式 ............................................................................................................. 9
【题型四】 药物试验模式 ................................................................................................... 13
【题型五】 商场促销 ........................................................................................................... 17
【题型六】 证明概率、期望等不等式 ............................................................................... 20
【题型七】 摸球与射击模型 ............................................................................................... 25
【题型八】 模拟压轴题选讲 ............................................................................................... 27
【题型一】 马尔科夫链基础模型
【典例分析】
某餐厅供应 1 000 名学生用餐,每星期一有 A、B 两种菜可供选择,调查资料显示星期一选
A 菜的学生中有 20%在下周一选 B 菜,而选 B 菜的学生中有 30%在下周一选 A 菜,用 A
n
、
B
n
分别表示在第 n 个星期一选 A 菜、B 菜的学生数, 试写出 A
n
与 A
n
-
1
的关系 及 B
n
与 B
n
-
1
的关系.
解 由题意知:
A
n
+B
n
=1 000
A
n
=0.8A
n
-
1
+0.3B
n
-
1
B
n
=0.2A
n
-
1
+0.7B
n
-
1
由 A
n
-
1
+B
n
-
1
=1 000,得 B
n
-
1
=1 000-A
n
-
1
.
所以 A
n
=0.8A
n
-
1
+0.3(1 000-A
n
-
1
)=0.5A
n
-
1
+300.同理,B
n
=0.2(1 000-B
n
-
1
)+0.7B
n
-
1
=0.5B
n
-
1
+200.
【提分秘籍】
基本规律
1.马尔科夫链: 在 n+1 时刻的状态,只跟第 n 刻的状态有关,与 n-1,n-2,n-3。。。等时
刻状态是“没有任何关系的”。
2.和数列递推通项结合
【变式演练】
1.
小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏,规则如下:若掷出的点数之和为
4
的倍
数,则由原投掷人继续投掷;若掷出的点数之和不是
4
的倍数,则由对方接着投掷.
(
1
)规定第
1
次从小明开始.
(
ⅰ
)求前
4
次投掷中小明恰好投掷
2
次的概率;
(
ⅱ
)设游戏的前
4
次中,小芳投掷的次数为
X
,求随机变量
X
的分布列与期望.
(
2
)若第
1
次从小芳开始,求第
n
次由小芳投掷的概率
n
P
.
【详解】(1)一人投掷两颗骰子,向上的点数之和为 4 的倍数的概为
91
36 4
.
(ⅰ)因为第 1 次从小明开始,所以前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率,
1 3 1 3 3 3 3 1 3 39
4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
P
.
(ⅱ)设游戏的前 4 次中,小芳投掷的次数为
X
,依题意,
X
可取 0,1,2,3,
所以
1 1 1 1
( 0)
4 4 4 64
PX
,
3 3 1 1 3 3 1 1 3 21
( 1)
4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
PX
,
39
( 2)
64
PX
,
3 1 1 3
( 3)
4 4 4 64
PX
.所以
X
的分布列为
X
0 1 2 3
P
1
64
21
64
39
64
3
64
所以
1 21 39 3 27
( ) 0 1 2 3
64 64 64 64 16
EX
.
(2)若第 1 次从小芳开始,则第
n
次由小芳投掷骰子有两种情况:
①第
1n
次由小芳投掷,第
n
次继续由小芳投掷,其概率为
1
1
1
( 2)
4
nn
P P n
;②第
1n
次由小明投掷,第
n
次由小芳投掷,其概率为
2
11
1 3 3
1 1 ( 2)
4 4 4
n n n
P P P n
.
因为①②两种情形是互斥的,所以
12
1 1 1
1 3 3 1 3
( 2)
4 4 4 2 4
n n n n n n
P P P P P P n
,
所以
1
1 1 1
( 2)
2 2 2
nn
P P n
.因为
1
1P
,所以
1
2
n
P
是以
1
2
为首项,
1
2
为公比的等比数列,所以
1
1 1 1
2 2 2
n
n
P
,即
11
22
n
n
P
.
2.
一袋中有大小、形状相同的
2
个白球和
10
个黑球,从中任取一球.如果取出白球,则把
它放回袋中;如果取出黑球,则该球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复
n
次这样的
操作后,记袋中的白球个数为
n
X
.
(
1
)求
1
EX
;
(
2
)设
2
nk
P X k P
,求
1
2 ( 0,1,2, ,10)
n
P X k k
;
(
3
)证明:
1
11
1
12
nn
EX EX
.
【详解】(1)∵
1
2X
或
1
3X
,∴
1
21
2
2 10 6
PX
,
1
10 5
3
2 10 6
PX
,
∴
1
1 5 17
23
6 6 6
EX
.
(2)∵当
0k
时,
10
1
2
6
n
P X P
,
当
1 10k
时,第
1n
次取出来有
2 k
个白球的可能性有两种:
第
n
次袋中有
2 k
个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,
即袋中有
2 k
个白球,
10 k
个黑球,第
1n
次取出来的也是白球的概率为
2
12
k
k
P
;
第
n
次袋中有
1 k
个白球,第
1n
次取出来的是黑球,由于每次总数为 12 个,
故此时黑球数为
11 k
个,这种情况发生的概率为
1
11
12
k
k
P
;∴
11
2 11
2 (1 10)
12 12
n k k
kk
P X k P P k
,∴综上可知,
0
1
1
1
( 0),
6
2
2 11
(1 10).
12 12
n
kk
Pk
P X k
kk
P P k
(3)∵第
1n
次白球个数的数学期望分为两类情况:第
n
次白球个数的数学期望为
n
EX
,
由于白球和黑球的总数为 12,第
1n
次取出来的是白球的概率为
12
n
EX
,第
1n
次取出来
的是黑球的概率为
12
12
n
EX
,此时白球的个数为
1
n
EX
,∴
1
12
1
12 12
nn
n n n
EX EX
EX EX EX
12
11
1 1 1
12 12 12
n
n
nn
EX
EX
EX EX
即
1
11
1
12
nn
EX EX
.
【题型二】 马尔科夫链之传球模型
【典例分析】
现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球,从甲开始传球,甲等可能地把球传给乙、丙、丁
中的任何一个人,依次类推.
(1)通过三次传球,球经过乙的次数为
X
,求
X
的分布列与期望;
(2)设经过
n
次传球后,球落在甲手上的概率为
n
a
,
①求
1
a
,
2
a
;
②求
n
a
,并简要解释随着传球次数的增多,球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等.
【详解】
(1)
X
的取值为 0,1,2,
2 2 2 8
( =0) =
3 3 3 27
PX
;
1 2 2 1 2 2 1 16
( =1) 1 1
3 3 3 3 3 3 3 27
PX
;
1 1 1
( =2) 1 =
3 3 9
PX
;
所以
X
的分布列为
X
0 1 2
P
8
27
16
27
1
9
所以
8 16 1 22
( ) 0 1 2
27 27 9 27
EX
;
(2)①由题意可知:
1
=0a
,
2
1
=
3
a
;
②由题意:
,2nn
N
时,第
n
次传给甲的事件是第
n
-1 次传球后,球不在甲手上并且第
n
次必传给甲的事件积,
于是有
1
1
(1 )
3
nn
aa
,即
1
1 1 1
()
4 3 4
nn
aa
,数列
1
{}
4
n
a
是首项为
11
44
n
a
,公比为
1
3
的等比数列,
从而有
1
1 1 1
()
4 4 3
n
n
a
,所以
1
1 1 1
()
4 4 3
n
n
a
,
当
+n
时,
1
4
n
a
,所以当传球次数足够多时,球落在甲手上的概率趋向于一个常数
1
4
,
又第一次从甲开始传球,而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人,所以球落在每个人
手上的概率都相等,所以球落在乙、丙、丁手上的概率为
11
(1 ) 3
44
,
所以随着传球次数的增多,球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等.
【提分秘籍】
基本规律
传球模式是经典的马尔科夫链应用。注意寻找里边的数列递关系。
【变式演练】
1.
足球运动被誉为
“
世界第一运动
”
.深受青少年的喜爱.
(
Ⅰ
)为推广足球运动,某学校成立了足球社团,由于报名人数较多,需对报名者进行
“
点球
测试
”
来决定是否录取,规则如下:踢点球一次,若踢进,则被录取;若没踢进,则继续踢,
直到踢进为止,但是每人最多踢点球
3
次.
下表是某同学
6
次的训练数据,以这
150
个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为
加入足球社团,该同学进行了
“
点球测试
”
,每次点球是否踢进相互独立,他在测试中所踢的
点球次数记为
,求
的分布列及数学期望;
(
Ⅱ
)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机地将球传给其他两人中
的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假定
每次传球都能被接到.记开始传球的人为第
1
次触球者,第
n
次触球者是甲的概率记为
n
P
,
即
1
1P
.
(
i
)求
23
,PP
(直接写出结果即可);
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