概率压轴大题满分突破.pdf资源-CSDN文库

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第 33 讲概率压轴大题

【题型一】马尔科夫链基础模型 ......................................................................................... 2

【题型二】马尔科夫链之传球模型 ..................................................................................... 4

【题型三】游走模式 ............................................................................................................. 9

【题型四】药物试验模式 ................................................................................................... 13

【题型五】商场促销 ........................................................................................................... 17

【题型六】证明概率、期望等不等式 ............................................................................... 20

【题型七】摸球与射击模型 ............................................................................................... 25

【题型八】模拟压轴题选讲 ............................................................................................... 27

（ⅰ）因为第 1 次从小明开始，所以前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率，

1 3 1 3 3 3 3 1 3 39

4 4 4 4 4 4 4 4 4 64

P          

．

（ⅱ）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为

，依题意，

可取 0，1，2，3，

所以

1 1 1 1

( 0)

4 4 4 64

PX    

，

3 3 1 1 3 3 1 1 3 21

( 1)

4 4 4 4 4 4 4 4 4 64

PX          

，

( 2)

PX

，

3 1 1 3

( 3)

4 4 4 64

PX    

．所以

的分布列为

0 1 2 3

所以

1 21 39 3 27

( ) 0 1 2 3

64 64 64 64 16

EX         

．

（2）若第 1 次从小芳开始，则第

次由小芳投掷骰子有两种情况：

①第

1n 

次由小芳投掷，第

次继续由小芳投掷，其概率为

( 2)

P P n





；②第

1n 

次由小明投掷，第

次由小芳投掷，其概率为

 

1 3 3

1 1 ( 2)

4 4 4

n n n

P P P n





    





．

因为①②两种情形是互斥的，所以

1 1 1

1 3 3 1 3

( 2)

4 4 4 2 4

n n n n n n

P P P P P P n

  

       

，

所以

1 1 1

( 2)

2 2 2

P P n





   





．因为

1P 

，所以











是以

为首项，



为公比的等比数列，所以

1 1 1

2 2 2





  





，即



  





．

一袋中有大小、形状相同的

个白球和

个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把

它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复

次这样的

操作后，记袋中的白球个数为

．

（

）求

；

（

）设

 

P X k P  

，求

 

2 ( 0,1,2, ,10)

P X k k



   

；

（

）证明：

EX EX





．

【详解】（1）∵

2X 

或

3X 

，∴

 

2 10 6

PX  



，

 

10 5

2 10 6

PX  



，

∴

1 5 17

6 6 6

EX     

．

（2）∵当

0k 

时，

 

P X P





，

当

1 10k

时，第

1n

次取出来有

2 k

个白球的可能性有两种：

第

次袋中有

2 k

个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变，

即袋中有

2 k

个白球，

10 k

个黑球，第

1n

次取出来的也是白球的概率为



；

0 1 2

所以

8 16 1 22

( ) 0 1 2

27 27 9 27

EX       

；

（2）①由题意可知：

=0a

，

；

②由题意：

,2nn



N

时，第

次传给甲的事件是第

-1 次传球后，球不在甲手上并且第

次必传给甲的事件积，

于是有

(1 )





，即

1 1 1

()

4 3 4



   

，数列

{}

a 

是首项为

a   

，公比为



的等比数列，

从而有

1 1 1

()

4 4 3



    

，所以

1 1 1

()

4 4 3



   

，

当

+n 

时，

a 

，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数

，

又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，所以球落在每个人

手上的概率都相等，所以球落在乙、丙、丁手上的概率为

(1 ) 3

  

，

所以随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等．

【提分秘籍】

基本规律

传球模式是经典的马尔科夫链应用。注意寻找里边的数列递关系。

【变式演练】

足球运动被誉为

“

世界第一运动

”

．深受青少年的喜爱．

（

Ⅰ

）为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行

“

点球

测试

”

来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，

直到踢进为止，但是每人最多踢点球

次．

下表是某同学

次的训练数据，以这

150

个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为

加入足球社团，该同学进行了

“

点球测试

”

，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的

点球次数记为



，求



的分布列及数学期望；

（

Ⅱ

）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中

的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定

每次传球都能被接到．记开始传球的人为第

次触球者，第

次触球者是甲的概率记为

，

即

1P 

．

（

）求

,PP

（直接写出结果即可）；

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