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二项分布与超几何分布的区别.pdf
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二项分布与超几何分布的区别.pdf
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超几何分布与二项分布
[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布
判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体
(共有
N
个)内含有两种不同的事物
( )A M 个
、
( )B N M 个
,任取
n
个,其中恰有
X
个
A
.符合该条件的即
可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列
( )
k n k
M N M
n
N
C C
P X k
C
(
0,1,2, ,k m
)进行处理就可以了.
二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有
A
与
A
这两个,且事件
A
发生的
概率为
p
,事件
A
发生的概率为
1 p
;②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件
A
发生的
概率都是同一常数
p
,事件
A
发生的概率为
1 p
.
1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概
率为
2
3
.现有 10 件产品,其中 6 件是一等品,4 件是二等品.
(Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率;
(Ⅱ) 随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为
X
,求
X
的分布列;
(Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.
【解析】(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为
A
…………………………1 分
事件
A
等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2 分
15
13
3
2
10
4
10
6
)( Ap
…………………………4 分
(Ⅱ) 由题可知
X
可能取值为 0,1,2,3.
3 0
4 6
3
10
1
( 0)
30
C C
P X
C
,
2 1
4 6
3
10
3
( 1)
10
C C
P X
C
,
1 2
4 6
3
10
1
( 2)
2
C C
P X
C
,
0 3
4 6
3
10
1
( 3)
6
C C
P X
C
. ………………8 分
故
X
的分布列为
…
……………9 分
X
0 1 2 3
P
30
1
10
3
2
1
6
1
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页
(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为
B
……………10 分
事件
B
等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以,
3
1 1 1
( ) ( )
30 3 810
P B
. ……………13 分
2、第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委会
在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单
位:cm):若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为
“高个子”,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”,
且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5 人,
再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
(Ⅱ)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用
表示所选志愿者中能担
任“礼仪小姐”的人数,试写出
的分布列,并求
的数学期望.高中数学资料共享群(734924357)
【解析】(Ⅰ)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人,…………1 分
用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是
6
1
30
5
, ………………2 分
所以选中的“高个子”有
2
6
1
12
人,“非高个子”有
3
6
1
18
人.…………3 分
用事件
A
表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件
A
表示“没有一名“高个子”被选中”,
则
( )P A
1
2
5
2
3
C
C
10
7
10
3
1
.……5 分 因此,至少有一人是“高个子”的概率是
10
7
.…6 分
(Ⅱ)依题意,
的取值为
0,1, 2, 3
. ………………7 分
55
14
C
C
)0(
3
12
3
8
P
,
55
28
C
CC
)1(
3
12
2
8
1
4
P
,
55
12
C
CC
)2(
3
12
1
8
2
4
P
,
55
1
C
C
)3(
3
12
3
4
P
. …………………9 分
因此,
的分布列如下:
0
1 2
3
p
55
14
55
28
55
12
55
1
第
3
页 共
12
页
……10 分
1
55
1
3
55
12
2
55
28
1
55
14
0 E
. …………12 分
3、某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生
共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力
偏高的学生为 3 人.
视觉 视觉记忆能力
偏低 中等 偏高 超常
听觉
记忆
能力
偏低 0 7 5 1
中等 1 8 3
b
偏高 2
a
0 1
超常 0 2 1 1
由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为
中等或中等以上的概率为
2
5
.
(Ⅰ)试确定
a
、
b
的值;
(Ⅱ)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为
,求随
机变量
的分布列.
【解析】(Ⅰ)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有
(10 )a
人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件
A
,
则
10 2
( )
40 5
a
P A
,解得
6a
,从而
40 (32 ) 40 38 2b a
.
(Ⅱ)由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为
3
40
C
,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或
超常的学生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有
k
位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏
高或超常的结果数为
3
24 16
k k
C C
,所以从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有
k
位具有听觉记忆能力或视
觉记忆能力偏高或超常的概率为
3
24 16
3
40
( )
k k
C C
P k
C
( 0,1,2,3)k
.
的可能取值为 0、1、2、3.
因为
0 3
24 16
3
40
14
( 0)
247
C C
P
C
,
1 2
24 16
3
40
72
( 1)
247
C C
P
C
,
2 1
24 16
3
40
552
( 2)
1235
C C
P
C
,
3 0
24 16
3
40
253
( 3)
1235
C C
P
C
,
所以
的分布列为
0 1 2 3
听觉
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xiaomaodiaoyu520
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