常用拉普拉斯变换及反变换[归类].pdf

拉普拉斯变换是一种在工程数学中广泛应用的积分变换方法，主要用于将一个实变函数或时间域函数转换为复频域函数。它是通过积分运算实现的，可以用来分析线性时不变系统，尤其是在求解常微分方程和偏微分方程时具有很大的优势。拉普拉斯变换不仅能将复杂的微分方程转换为代数方程，还能简化对系统的分析和设计。 在文档中提到的拉普拉斯变换基本性质包括线性定理、微分定理、积分定理、延迟定理（或称t域平移定理）、衰减定理（或称s域平移定理）、终值定理和初值定理。这些性质是进行拉普拉斯变换时的基础工具，它们揭示了变换前后函数之间的关系。 1. 线性定理说明了拉普拉斯变换是线性的，意味着可以分别对函数的各个部分进行变换，然后将结果相加。 2. 微分定理说明了对函数进行微分操作在变换域中的效果，即函数微分的拉普拉斯变换等于原函数拉普拉斯变换的s倍，减去初始值的拉普拉斯变换。 3. 积分定理则说明了对函数进行积分在变换域中的效果，即函数积分的拉普拉斯变换等于原函数拉普拉斯变换除以s。 4. 延迟定理（t域平移定理）用于描述函数在时间轴上的平移对拉普拉斯变换的影响。 5. 衰减定理（s域平移定理）用于描述函数的s域平移对拉普拉斯变换的影响。 6. 终值定理用于计算原函数在t趋向无穷大时的极限值。 7. 初值定理用于计算原函数在t趋向零时的极限值。 文档还提到了卷积定理，卷积定理说明了两个函数卷积的拉普拉斯变换等于这两个函数各自拉普拉斯变换的乘积。 在进行拉普拉斯反变换时，如果原函数的变换式是一个有理真分式，可以通过查表法或部分分式展开法来求解原函数。查表法依赖于事先整理好的拉普拉斯变换表，通过对照找到相应的原函数。部分分式展开法则需要将复杂的变换式分解为简单的部分分式之和，每个简单的部分分式对应一个基本函数的拉普拉斯变换，通过查表找到这些基本函数，再组合起来得到原函数。 文档附录A列出了常用函数的拉普拉斯变换和Z变换表，为查找和使用拉普拉斯变换提供了方便。表中列出了序号、拉氏变换、时间函数、Z变换，以及对应的函数表达式，帮助工程师和研究人员快速找到所需的变换结果。 文档提到的Z变换是另一种积分变换方法，它特别适用于分析离散时间系统，比如数字信号处理和数字控制系统中的信号和系统。 综合来看，文档提供了拉普拉斯变换的理论基础、性质、定理及实际应用，同时也强调了查表法在拉普拉斯反变换中的重要性，对从事工程数学分析、系统控制和信号处理的技术人员具有一定的参考价值。