§5 随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量的函数
二、一维连续型随机变量的函数的分布
三、( 连续型 ) 随机向量函数的分布律
四、随机向量的变换
本章补充与注记
人们经常碰到随机变量的函数 . 例如分子运动的动能 T= 2/
2
mv 是分子运动速
度——随机变量
v
的函数;数理统计中经常用到
2
(n) 分布,相应的随机变量
2
=
2
1
+…+
2
n
,其中各
i
相互独立,都服从 N (0, 1).
2
是
1
, …,
n
的函数 .
一般,若 ξ是随机变量 , y = g (x)是普通的实函数,则 η= g(ξ)是ξ的函数 .
接着产生两个问题: 1) η是随机变量吗? 2) 如果是,η的分布与 ξ的分布有什
么关系?对于多个随机变量的函数,也存在同样的问题 .
对第一个问题比较容易解决 . 因为若 η= g (ξ)是随机变量,就必需满足§ 1
的(1) 式,这就不得不对函数 g (x) 有所限制 .
定义 设 g (x)是一维实函数, 是 R上的波雷尔 σ- 域. 若对任意 B∈ ,都
有
{ x: g (x) ∈B}= g
1
(B) ∈ (1)
( 即当 g (x)的值域是波雷尔集时, 其原像也是波雷尔集 ), 则称 g(x)是一元波雷尔
函数 .
实变函数论中可以证明:一切分段连续 , 分段单调的函数都是波雷尔函数,
故它是十分广泛的一类函数,日常碰到的大都是这类函数 .
现在我们可以来回答第一个问题:若 ξ是概率空间 (Ω, , P)上的随机变量 ,
f(x)是一元波雷尔函数, η= f (ξ) , 则对任意的 B∈ ,由这里的 (1) 及§1 的(1)
式可得
{ω:η(ω)∈B}={ ω: f (ξ(ω))∈B}={ ω:ξ(ω)∈f
1
(B) } ∈ .
故η是随机变量 .
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