《计算方法》课件：Ch2_1 二分法.ppt

《计算方法》中的二分法是一种寻找实数方程根的经典算法，主要应用于方程求根的初等数值分析中。二分法基于介值定理，即如果一个连续函数在闭区间上取到不同符号的值，那么该函数在这个区间内必然存在至少一个根。这种方法适用于任何连续函数，无论其是否为线性、多项式还是超越函数。 我们需要确定方程有根的区间。这通常可以通过观察函数图像，判断函数值在区间两端的符号变化，或者通过计算区间端点的函数值来完成。一旦找到一个使得函数值在区间两端异号的区间，我们就可以确保这个区间内存在至少一个根。这个区间被称为有根区间。 接下来，二分法的核心步骤是将有根区间不断对半分割。具体来说，我们计算区间中点的函数值，然后根据中点函数值的符号来决定新的有根区间。如果中点函数值为零，那么中点就是我们要找的根；如果中点函数值与区间的任一端点函数值符号相反，我们就选择中点作为新区间的一个端点，保留另一个旧的端点，从而形成一个新的、长度减半的有根区间。这个过程重复进行，每次都将当前区间长度减半，直至达到预设的精度要求。 二分法的优点在于其简单易行，可以处理广泛的函数类型，并且在实际编程中容易实现。然而，它的缺点也很明显，即收敛速度较慢。二分法的收敛速度与1/2的几何级数相似，这意味着每次迭代只能将搜索区间减半，可能需要很多次迭代才能达到所需的精度。此外，二分法无法直接求解偶数重根和复数根，对于这些特殊根的搜索，通常需要结合其他更复杂的数值方法，如Newton法或割线法。 在实际应用中，二分法经常与逐步搜索法结合，以提高寻找所有实根的效率。通过适当选择步长h，可以在保证找到所有根的同时，避免因步长过大而丢失根，或者因步长过小而增加不必要的计算量。 作业练习通常会包含一些运用二分法解决的具体问题，例如书中P.47的第11题和第22题，可能要求学生利用二分法求解特定的非线性方程，同时考虑如何选择合适的步长，以及如何判断何时终止算法，确保找到满足精度要求的根。 二分法是数值分析中基础且实用的求根方法，对于理解数值计算的基本原理和技巧具有重要意义。尽管其收敛速度不快，但在许多实际问题中，尤其是在没有其他复杂工具的情况下，仍然是寻找实数根的有效途径。