数值分析第一次作业解答.doc

在数值分析中，我们关注的是计算过程中的稳定性、精度以及算法的选择。本次作业涉及了MATLAB的使用、程序错误分析、数值稳定性、浮点运算性质和一元二次方程求解等多个知识点。 MATLAB作为强大的数值计算工具，其帮助信息的使用方法通常包括在命令行输入`help function_name`或者`doc function_name`来获取关于特定函数的帮助文档。例如，如果你想知道如何生成向量，可以输入`help linspace`或`doc linspace`来学习如何创建等差或等比序列。 题目中提到的错误提示“Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree.”意味着在矩阵乘法操作中，矩阵的内侧维度不匹配。根据给出的代码，错误可能出现在`for`循环里，即`total = total + vector * vector;`这里。`vector`是一个列向量，而`vector * vector`会尝试进行矩阵乘法，但两个向量的长度不一致，因此导致错误。正确的做法可能是将`vector * vector`改为`vector.^2`，这样会得到每个元素的平方和。 接着，我们讨论数值稳定性。第1题的(d)选项指出，对于良态问题使用稳定算法一定能得到好的近似解，这是正确的。病态问题是指即便微小的扰动也会导致结果的巨大变化，而稳定算法能抵抗这种敏感性。第2题的程序展示了舍入误差的影响，即使在理想情况下，当`n=3, 6, 7`时，结果应该为零，但由于浮点数的有限精度，计算结果出现了非零值。这强调了在数值计算中需要关注精度损失。 对于一元二次方程的求解，第3题给出了两种不同的方法。在给定的参数`a=1, b=-100000000, c=1`下，直接使用`roots`函数得到的解是`X1=100000000, x2=0`，而通过手动计算的第二种方法产生了较大的误差。这是因为第二种方法中涉及到小数作为分母，导致计算不稳定。因此，对于这种极端情况，应当选择更稳定的求解方式，如直接使用`roots`函数。 第4题涉及到泰勒级数的收敛性和程序优化。函数`tt(x)`和`tt1(x)`分别表示泰勒级数的求和过程，其中`tt1(x)`通过循环实现。`tt`函数在某些条件下可能因为内部迭代的精度问题而无法达到预期结果，如(a)中提到的，当`t`小于计算机的最小可分辨值`eps`时，迭代可能提前停止。而在(b)和(c)中，随着`x`值的增大，需要的项数`n`也相应增加，这表明泰勒级数的收敛速度随变量的变化而变化。为了可视化这个过程，改写后的`tt1(x)`函数存储了每一步的和，并用`plot`函数绘制出来，可以直观地展示级数的收敛行为。 总结来说，这份作业涵盖了MATLAB操作、数值稳定性分析、浮点数运算的性质以及泰勒级数的收敛性等多个重要概念，这些都是数值分析领域不可或缺的基础知识。通过解决这些问题，我们可以更好地理解和应用这些理论，以解决实际的计算问题。