第1章 习题
1. (每空2分,共6分)已知的三个近似值分别是 。这些近似值分别有 位、 位、
位有效数字。
2. (每问3分，共9分)已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？它的绝对误差和相对误差分别是多少？
可在此插入解题过程的图片,后面的解答题均可插入解题过程图片。
3. (每小题8分，共24分)假设是由四舍五入得到的近似数，求下列各近似数的误差限：（通常求绝对误差限，也可同时求出相对误差限）
4. (16分) 已测的某场地长度l的值为，宽度d的值为，已知。试求面积的绝对误差限和相对误差限。
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5. (15分) 计算球体体积时，要使相对误差限为1%，问半径R允许的相对误差限是多少？
6. (15分) 设序列满足递推关系，若(三位有效数字)，计算到时的绝对误差限是多少？这个计算过程稳定吗？
7. (10分) 选用更好的方法计算
8. (5分) 求方程的最小正根，使它至少具有4位有效数字(取)
【数值分析作业详解】
在数值分析这门课程中，我们主要关注如何用数学方法处理实际问题中的数值计算，包括误差分析、数值代数、微积分近似等。这份2017级的第一次作业涵盖了几个关键概念，我们将逐一解析。
1. **有效数字**：有效数字是指一个数从左边第一个非零数字起，直到末尾所有数字的个数。例如，近似值123有3位有效数字，而1.23e3也有3位有效数字。题目要求填写三个近似值的有效数字位数，这需要对每个近似值进行分析。
2. **误差与相对误差**：对于近似数2.153与准确值2.1542，其绝对误差为|2.1542 - 2.153| = 0.0012，相对误差是绝对误差除以准确值的绝对值，即0.0012 / 2.1542。这里需要计算出具体数值。
3. **误差限**：当近似数是通过四舍五入得到时，误差限是指可能的最大误差。例如，如果一个数四舍五入至两位小数，那么其误差限就是第三位小数的一半。我们需要根据近似数的具体情况来计算绝对误差限和相对误差限。
4. **面积的误差分析**：给定长度l和宽度d的测量值以及它们的误差限，面积A=l*d，因此面积的绝对误差限是l的误差限与d的误差限的乘积，相对误差限是两者相对误差限的平方和的平方根。需将具体数值代入计算。
5. **球体体积的误差分析**：球体体积V=4/3*π*R^3，若要求相对误差限为1%，则R的相对误差限可通过体积的相对误差公式推导得出。
6. **递推序列的误差限**：给定递推关系和初始值的三位有效数字，我们需要计算n步后的绝对误差限。理解递推关系的性质，如线性或非线性，确定误差传播的方式。如果序列是稳定的，误差不会随着步数增加而显著增加；如果不稳定，误差可能会迅速放大。
7. **改进计算方法**：此题可能要求使用更精确的算法，如牛顿法或二分法，来提高计算结果的有效数字位数。
8. **求解方程的最小正根**：为了找到具有4位有效数字的最小正根，可以采用迭代方法，比如二分法或牛顿法，直到达到所需的精度。
以上是对作业中各个问题的解析，涉及到了有效数字的概念、误差分析、误差限的计算以及数值稳定性等问题，这些都是数值分析的基础知识。在实际解答时，需要将理论知识与具体的数值相结合，通过计算得到最终答案。
