线性回归是一种统计学上的建模技术，用于研究两个或多个变量之间的线性关系。它在数据分析、预测和科学探索中具有广泛的应用。线性回归分析可以分为一元线性回归（涉及一个自变量和一个因变量）和多元线性回归（涉及两个或更多自变量与一个因变量）。在实际应用中，线性回归模型通常用于预测连续数值型的响应变量。
一元线性回归的模型可以表示为：\( Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon \)，其中 \( Y \) 是因变量，\( X \) 是自变量，\( \beta_0 \) 是截距，\( \beta_1 \) 是斜率，\( \epsilon \) 是误差项。这个模型假设因变量与自变量之间的关系可以用一条直线来近似描述。
在多元线性回归中，模型会扩展为：\( Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_nX_n + \epsilon \)，其中 \( X_1, X_2, ..., X_n \) 是多个自变量，每个都有自己的系数 \( \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n \)。
线性回归的拟合通常使用最小二乘法，这是一种优化技术，目标是最小化预测值与实际观测值之间的差异，即误差平方和。最小二乘法通过找到最佳的 \( \beta \) 参数来使残差平方和最小化，从而得到最佳的线性拟合。在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行线性回归计算，例如：`coef=polyfit(x,y,1)`，其中`x`和`y`是数据，`1`表示一阶线性回归。
理解回归分析的结果时，通常会关注以下几个关键指标：
1. 回归系数（Coefficients）：表示自变量对因变量的影响量，正数表示正相关，负数表示负相关。
2. t统计量（t-statistic）：用来检验系数是否显著不为零，显著性水平通常设置为0.05。
3. p值（P-value）：如果p值小于显著性水平，那么拒绝零假设，认为系数显著。
4. R-squared（决定系数）：表示模型解释因变量变异的百分比，越接近1表示模型拟合度越好。
5. 残差标准误差（Residual standard error）：衡量模型预测误差的平均大小。
在实际应用中，除了模型的参数外，还需要检查线性回归的假设，包括：
1. 线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2. 正态性：残差应该遵循正态分布。
3. 独立性：观测值之间相互独立。
4. 方差齐性（Homoscedasticity）：所有观测值的残差方差应保持一致。
通过这些分析，我们可以评估模型的有效性和预测能力，同时还可以识别潜在的问题，如多重共线性（自变量之间高度相关）或异方差性（残差方差随自变量变化而变化）。如果发现模型不符合假设，可能需要调整模型结构或使用其他统计方法来改进模型的性能。
