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概率论与数理统计公式整理

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有关于所有概率论以及数理统计的公式合集。

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概率论与数理统计公式（全）

2011-1-1

第 1 章随机事件及其概率

（  ）

排列组

合公式

从  个人中挑出  个人进行排列的可

能数。

从  个人中挑出  个人进行组合的

可能数。

（  ）

加法和

乘法原

理

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由  种方法

完成，第二种方法可由  种方法来完成，则这件事可

由 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由  种方法

完成，第二个步骤可由 种方法来完成，则这件事可

由 种方法来完成。

（  ）

一些常

见排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（  ）

随机试

验和随

机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试

验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不

能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（  ）在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找

概率论与数理统计公式（全）

2011-1-1

基本事

件、样

本空间

和事件

出这样一组事件，它具有如下性质：

 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的

一个事件；

 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来

表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的

集合。通常用大写字母 A

，

…表示事件，它们

是的子集。

为必然事件， 为不可能事件。

不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不

一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为

，而概率为  的事件也不一定是必然事件。

（  ）

事件的

关系与

运算

 关系：

如果事件  的组成部分也是事件 B 的组成部分，

（A 发生必有事件 B 发生）：

如果同时有，，则称事件 A 与事件 B 等

价，或称 A 等于 B：A=B。

、

B 中至少有一个发生的事件： A B ，或者

AB。

属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A

与

B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者，它

概率论与数理统计公式（全）

2011-1-1

表示 A 发生而 B 不发生的事件。

、

B 同时发生：A



B，或者 AB。



，则表

示  与  不可能同时发生，称事件  与事件  互不

相容或者互斥。基本事件是互不相容的。



 称为事件  的逆事件，或称  的对立事件，记

为

。它表示  不发生的事件。互斥未必对立。

 运算：

结合率：

 分配率： 



德摩根率：











11 i

，

（  ）

概率的

公理化

定义

设



为样本空间，

为事件，对每一个事件

都有

一个实数 ，若满足下列三个条件：

，



对于两两互不相容的事件

，

，…有























)(

i APAP



常称为可列（完全）可加性。

则称 为事件

的概率。

（  ）

古典概

型

 ，

 。

设任一事件

，它是由组成的，则有

P(A) 

概率论与数理统计公式（全）

2011-1-1

（  ）

几何概

型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的

可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以

使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概

型。对任一事件 ，

。其中为几何度量（长度、面积、体

积）。

（）

加法公

式



当 ＝ 时，

（）

减法公

式



当   时，

当  时， 

（）

条件概

率

定义设 、 是两个事件，且 !，则称

为事件  发生条件下，事件  发生的条件概率，记为

。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条

件概率。

例如 "  ""

（）

乘法公

式

乘法公式：

更一般地，对事件 



，



，…



，若 







#





!，则有

( AAP

)

)|()|()(

213121

AAAPAAPAP

|( AAAP

)

1n

。

（）

独立性

① 两个事件的独立性

设事件

、

满足

)()()( BPAPABP 

，则称事件

、

概率论与数理统计公式（全）

2011-1-1

是相互独立的。

若事件

、

相互独立，且

0)( AP

，则有

)(

)()(

)(

)|( BP

BPAP

ABP

ABP 

若事件

、

相互独立，则可得到

与

、

与

、

与

也都相互独立。

必然事件



和不可能事件  与任何事件都相互独

立。

 与任何事件都互斥。

② 多个事件的独立性

设  是三个事件，如果满足两两独立的条件，

 ；  ；



并且同时满足 

那么 、、 相互独立。

对于  个事件类似。

（）

全概公

式

设事件

BBB ,,,



满足



BBB ,,,



两两互不相容，

),,2,1(0)( niBP



，





iBA

1



，

则有

)|()()|()()|()()(

2211 nn

BAPBPBAPBPBAPBPAP  

。

（）

贝叶斯

公式

设事件

，

，…，

及

满足



，

，…，

两两互不相容，

)(BiP

!，

i

，，…，

，





iBA

1



，

0)( AP

，

则

，$，，…。

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