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极坐标与参数方程题型及解题方法.doc
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极坐标与参数方程题型及解题方法.doc
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.. -
Ⅰ 复习提问
1、极坐标系和直角坐标系有什么区别?学校教师课堂如何讲解极坐标参数方程的?
2、如何把极坐标系转化为直角坐标系?
答:将极坐标的极点 O 作为直角坐标系的原点,将极坐标的极轴作为直角坐标系 x 轴的
正半轴。如果点 P 在直角坐标系下的坐标为〔x,y〕,在极坐标系下的坐标为 , 那
么有以下关系成立:
3、参数方程 表示什么曲线?
4、圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程是什么?
5、极坐标系的定义是什么?
答:取一个定点 O,称为极点,作一水平射线 Ox,称为极轴,在 Ox 上规定单位长度,
这样就组成了一个极坐标系设 OP= ,又∠xOP= . 和 的值确定了,那么 P 点的
位置就确定了。 叫做 P 点的极半径, 叫做 P 点的极角, 叫做 P 点的极坐标
〔规定 写在前, 写在后〕。显然,每一对实数 决定平面上一个点的位置
6、参数方程的意义是什么?
. . word.zl-
参数方程极坐
参数方程极坐
标
标
.. -
Ⅱ 题型与方法归纳
1、题型与考点〔1〕
〔2〕
(3)
2、解题方法及步骤
〔1〕、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的根本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减
消去法、恒等式〔三角的或代数的〕消去法;化普通方程为参数方程的根本思路是引入参
数,即选定适宜的参数 ,先确定一个关系 〔或 ,再代入普通方程
,求得另一关系 〔或 〕.一般地,常选择的参数有角、有向
线段的数量、斜率,某一点的横坐标〔或纵坐标〕
例 1、方程 表示的曲线是〔 〕
A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
解析:注意到
t
与 互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可
消 去 含 的 项 , 即 有 , 又 注 意 到
, 可 见 与 以 上 参 数 方 程 等 价 的 普 通 方 程 为
.显然它表示焦点在 轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选 B
练习 1、与普通方程 等价的参数方程是〔 〕〔 为能数〕
解析:所谓与方程 等价,是指假设把参数方程化为普通方程后不但形式
一致而且 的变化围也对应一样,按照这一标准逐一验证即可破解.
对于 A 化为普通方程为 ;
对于 B 化为普通方程为 ;
对于 C 化为普通方程为 ;
对于 D 化为普通方程为 .
而方程为 显然与之等价的为 B.
练习 2、设 P 是椭圆 上的一个动点,那么 的最大值是,最小值为 .
分析:注意到变量 的几何意义,故研究二元函数 的最值时,可转化为几
何问题.假设设 ,那么方程 表示一组直线,〔对于 取不同的值,方程
表示不同的直线〕,显然 既满足 ,又满足 ,故点 是
. . word.zl-
.. -
方程组 的公共解,依题意得直线与椭圆总有公共点,从而转化为研究消无
后的一元二次方程的判别式 问题.
解析:令 ,对于 既满足 ,又满足 ,故点
是方程 组 的公共 解,依 题 意得 ,由
, 解 得 : , 所 以 的 最 大 值 为
,最小值为 .
〔2〕、极坐标与直角坐标的互化
利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这二者互化的前提条件是
〔1〕极点与原点重合;〔2〕极轴与 轴正方向重合;〔3〕取一样的单位长度.设点 P 的
直角坐标为 ,它的极坐标为 ,那么 ;假设把直
角坐标化为极坐标,求极角 时,应注意判断点 P 所在的象限〔即角 的终边的位置〕,
以便正确地求出角 .
例 2、极坐标方程 表示的曲线是〔 〕
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进展判断.
解析:由 ,化为直角坐 标 系 方程为
,化简得 .显然该方程表示抛物线,应选 D.
练习 1、直线的极坐标方程为 ,那么极点到该直线的距离是
解析:极点的直角坐标为 ,对于方程 ,
可得 化为直角坐标方程为 ,因此点到直线的距离为
练习 2、极坐标方程 转化成直角坐标方程为〔 〕
A. B. C. D.
分析:极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进展化解.
解析: ,因此选 C.
练习 3、点 的直角坐标是 ,那么点 的极坐标为〔 〕
A. B. C. D.
. . word.zl-
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wsbhm62
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