离散数学图论部分综合练习.doc
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离散数学中的图论部分是计算机科学和数学的重要分支,涉及到网络分析、数据结构和算法设计等多个领域。以下是对题目中涉及的知识点的详细解释: 1. **度数与边数的关系**:在无向图中,每条边连接两个顶点,所以每条边对度数贡献2。如果图中所有顶点的度数之和为 deg(V),那么边的数量为 deg(V)/2(因为每条边被计算两次)。因此,选项A、B错误,而C、D没有提供具体信息无法判断。 2. **割边与边割集**:割边是指如果从图中移除这条边,会将图分割成两个不连通的部分。边割集是一组边,移除它们后同样造成图的不连通。在题目中,{(a, d)}移除后,图一分割成两部分,所以它是边割集,B正确。 3. **割点与点割集**:割点是如果从图中移除该点,会将图分割成两个或多个不连通的部分。点割集是包含一个或多个割点的集合。在图二中,e是割点,因为移除e后,图会被分割,所以A正确。 4. **边割集**:同理,{(a, e)}移除后,图三并未分离,因此不是割边;{(a, e) ,(b, c)}移除后,图分离成两个部分,是边割集,C正确;{(d, e)}移除并不导致分离,所以D错误。 5. **强连通图**:如果图中任意两个顶点都存在双向路径,则称图是强连通的。在图四中,只有图c是强连通的,因为每个顶点都可以通过边到达其他任何顶点,所以C正确。 6. **欧拉回路**:在无向图中,如果每个顶点的度数都是偶数,那么存在欧拉回路。如果图是连通的,并且仅有两个奇数度的顶点,也存在欧拉通路。因此,对于完全图K,当m为偶数时,存在欧拉回路,D正确。 7. **欧拉公式**:在连通平面图中,顶点数v,边数e,面数r满足欧拉公式:v - e + r = 2。所以r = e - v + 2,A正确。 8. **欧拉通路**:无向图存在欧拉通路当且仅当图是连通的,并且最多有两个奇数度的顶点,D正确。 9. **生成树**:为了确定图的生成树,需要删除最少的边以使图变得无环且连通。在一个连通图中,生成树的边数总是比顶点数少1,因此答案是B。 10. **树的定义**:无向简单图是棵树,当且仅当它连通且没有回路,即边数比顶点数少1,A正确。 二、填空题答案: 1. 边数为1+2*2+3*3+4*4=30。 2. 图G的点割集是{e},因为移除e后图会分离。 3. 关系式为|S| = W + 1,因为每个非空子集S至少产生一个连通分支,S本身是另一个分支。 4. 所有结点的度数全为偶数。 5. 每个结点的入度等于其出度,因为欧拉图中每条边都被计数两次,一次作为入边,一次作为出边。 6. 当m为偶数时,K中存在欧拉回路。 7. 欧拉公式:v - e + r = 2。 8. 面数为5,因为根据欧拉公式,6-5+r=2,解得r=3。 9. 无向连通图是树,当边数比顶点数少1。 10. 可以删去3条边,因为总度数为18,所以边数应为9,树的边数比顶点数少1。 11. 树的树叶数为3,因为度数之和减去边数等于树叶数,即4+3+2-2=7,7-4=3。 12. 可以删去2条边,因为8-6+1=3,生成树有3条边比原图少2条。 这些概念是图论基础,理解并能应用它们是解决更复杂问题的关键。
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