初二数学最短路径问题知识归纳练习.doc

【初二数学最短路径问题】是初中阶段图论学习中的一个重要课题，主要涉及寻找图中两个节点间的最短路径。这一问题通常分为四个类型：确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题以及全局最短路径问题。在实际解题过程中，常常需要结合几何图形的性质，如“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”等基本原理。 【问题原型】如“将军饮马”问题，它要求在一条河岸线上找到一个位置，使得将军可以最快速度到达对岸的马，这涉及到对称性在最短路径问题中的应用。类似的问题还有“造桥选址”，以及“费马点”问题，后者是寻找一个点，使得这个点到多边形所有顶点的距离之和最小。 【涉及知识】解决这类问题时，需要掌握的基本概念包括： 1. 两点之间线段最短：这是解决最短路径问题的基础，即两点间的直线距离是最短的。 2. 垂线段最短：在平面几何中，点到直线的垂直距离是最短的。 3. 三角形三边关系：根据三角形不等式，任意两边之和大于第三边，用于判断是否存在最短路径。 4. 轴对称和平移：通过对称变换和位置平移来简化问题，找到最短路径。 【解题思路】常采用的方法是通过构造对称点或利用轴对称性，将曲线路径转化为直线，以达到缩短路径的目的。例如，"三折线"问题，可以通过两次对称变换，将折线路径转换成直线，从而找到最短路径。 【十二个基本问题】涵盖了一系列典型的应用场景，如： 1. 在直线l上求一点P，使PA+PB的值最小，通过连结AB，找到交点P，即为最短路径。 2. “将军饮马”问题，作B关于l的对称点B'，连结AB'，交点P即为所求。 3. 在两条直线上求点M、N，使△PMN的周长最小，通过构造对称点P'和P''，连接P'P''，交点即为M、N。 4. 对于四边形PQMN，要求其周长最小，做法类似，通过构造对称点Q'和P'来找到最短路径。 5. “造桥选址”问题，通过平移点A并构造垂线找到最短路径。 6. 在直线上的两点M、N，要求AM+MN+BN的值最小，通过平移和构造对称点找到最短路径。 7. 在直线l上求点A，直线l'上求点B，使PA+AB最小，通过构造P关于l的对称点P'，再构造垂线找到最短路径。 8. A、B为固定点，要求PA+AB的最小值，通常需要分析图形，可能需要利用多种方法综合考虑。 在实际解题中，学生需要灵活运用这些基本问题的作图方法，结合具体题目条件，找到最优化的解决方案。此外，对于更复杂的全局最短路径问题，可能需要引入迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法等图论算法进行求解。通过大量的练习，不仅可以提高学生的逻辑思维能力，还能锻炼他们对几何形状和空间关系的理解。