迭代法的加速PPT学习教案.pptx

迭代法是数值分析中一种重要的求解问题的方法，特别是在寻找函数零点时。这份PPT教程主要介绍了迭代法的加速技巧，包括待定参数法、Aitken加速法和Steffensen加速法。 待定参数法是通过引入一个待定参数K来改善迭代过程的收敛性。当函数g(x)的一阶导数的绝对值大于1时，迭代公式x = g(x)可能不收敛或收敛速度很慢。为了改善这种情况，可以改写为x = K - K/g(x)，其中K的选择应使得g'(K)的绝对值小于1，以确保收敛。例如，对于函数f(x) = x^3 - 3，在区间(1, 2)中寻找零点，可以选择K = -0.5，构造新的迭代公式，从而得到收敛序列。 接着，Aitken加速法（也称为Aitken插值法或Δ2法）是一种通过消除迭代序列中的线性趋势来加速收敛的方法。它利用相邻的三个迭代值x(k-1), x(k), x(k+1)，通过公式x(k+1) = x(k) - [g(x(k)) - g(x(k-1))] / [g'(x(k)) + g(x(k-1) - 2g(x(k))]进行校正，这个新值通常会比未加速的迭代更接近真实解。这种方法可以理解为在当前点处构造一个二次插值多项式，然后找到它的根，从而更快地逼近实际解。 Steffensen加速法结合了Aitken加速的思想，但更为强大，因为它涉及函数的二阶导数。它通过构造一个包含原始迭代函数g(x)的三元组(x(k), g(x(k)), g(g(x(k))))，并利用它们来形成一个新的迭代点。具体来说，新迭代公式为x(k+1) = x(k) - [g(g(x(k))) - g(x(k))] / [g'(g(x(k))) - g'(x(k))]。Steffensen加速法的一个显著特性是，即使原来的迭代序列发散，它也可能使其收敛。 这些加速方法在实际应用中非常有用，特别是在解决复杂问题时，能够大大提高迭代算法的效率和收敛速度。通过适当选择参数和运用加速技术，可以减少迭代次数，节省计算资源，尤其对于那些难以直接解析求解的问题，迭代法的加速技术显得尤为重要。