《结构力学图乘法》是结构力学中一种高效计算弯矩和剪力的方法,由Vereshagin在1925年提出。该方法主要应用于分析直杆件的弯曲问题,尤其适用于解决轴向变形小且弯曲刚度EI为常数的情况。下面将详细介绍图乘法的适用条件、公式以及应用注意事项。
1. **适用条件**:
- 杆件的轴线需为直线,确保图形简化时的直线性。
- 杆段的弯曲刚度EI必须是常数,这使得弯矩分布与位移呈线性关系。
- 至少有一个弯矩图或剪力图是直线图形,便于进行图乘运算。
2. **图乘法公式**:
- 弯矩图乘公式可以表示为:\( \int_{x_1}^{x_2} M(x)EI dx = \omega M(x_c) \),其中\( \omega \)是弯矩图M(x)的面积,\( x_c \)是对应弯矩图形的形心坐标。
- 剪力图乘公式:\( \int_{x_1}^{x_2} V(x) dx = KQ \),其中K是剪力图Q的形状因子。
3. **注意事项**:
- 必须满足上述适用条件才能应用图乘法。
- 同侧弯矩图相乘结果为正,反之为负,遵循弯矩的正负规定。
- 拱、曲线杆件和连续变截面结构需通过积分方式求解,不适用于图乘法。
- 应用图乘法前,需要熟悉常见图形的面积和形心计算。
4. **常见图形的面积和形心计算**:
- 三角形的面积\( A = \frac{1}{2}bh \),形心坐标\( C_x = \frac{2a}{3b}, C_y = \frac{2h}{3} \)。
- 二次抛物线的面积和形心计算涉及到更复杂的公式,需要根据具体图形特征计算。
5. **图形相乘的几种情况**:
- 矩形、三角形、标准二次抛物线等常见图形的图乘计算有明确的规则。
- 梯形、一般形式的二次抛物线、曲线与折线图形相乘时,需要对图形进行分段处理,逐段进行图乘操作。
6. **实际应用举例**:
- 在具体问题中,如例1和例2,我们需要根据题目给出的荷载和边界条件绘制弯矩图和剪力图,然后按照图乘法的规则计算弯矩和剪力。
图乘法简化了弯曲问题的求解过程,尤其对于直线图形,可以快速得到弯矩和剪力的解析解。然而,对于复杂图形,可能需要进行图形的细分和多次积分。理解并熟练运用图乘法,能有效提高结构力学问题的分析效率。