定理 设
n
RS
是非空开凸集,
RSf :
二阶连续可导,则 f 是 S 上的凸函数的充要条件
是 f 的 Hesse 矩阵
)(
2
xf
在 S 上是半正定的。
当
)(
2
xf
在 S 上是正定矩阵时,f 是 S 上的严格凸函数。(注意:该逆命题不成
立。)
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
12
2
1
2
21
2
2
1
2
2
)()()(
.
.
.
.
)(
...
)()(
)(
....
)()(
)(
nnn
n
n
x
xf
xx
xf
xx
xf
xx
xf
x
xf
xx
xf
xx
xf
xx
xf
x
xf
xf