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线性代数向量组的秩与向量空间PPT学习教案.pptx
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线性代数向量组的秩与向量空间PPT学习教案.pptx
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会计学
1
线性代数向量组的
秩与向量空间
2
例如
设向
量组
,
1
1
,
1
0
,
0
1
:
3
2
1
A
⑴
线性无关;
2
1
,
⑵
线性相关,所以
3
2
1
,
,
是向量组
的最大无关组,
且
.
2
1
,
A
2
A
R
另外,
也线性
无关,所以
3
1
,
也是向量组
的最大无关组
.
3
1
,
A
同理,
也是向
量组
的最大无关组
.
3
2
,
A
第
1
页
/
共
49
页
3
说明
这个定义是把
秩的概念引申到向量组
中来,给
秩的概念赋予几何解
释
.
并且由于向量
组可以含
无限多个向量,从而
使秩的概念深入到更广
阔
的领域
.
定义表明最大
无关组就是含向量个数最
多的线
性无关的部分组
.
向量组的最大
无关组一般不唯一
.
若向量组
的
秩为 ,则向
量组 中
任意 个线性无
关
的向量
组成的向量组都是它
的最大无关组
.
A
A
r
r
第
2
页
/
共
49
页
4
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
1.
定理的引入
记
)
,
,
,
,
(
2
1
m
A
)
,
,
,
,
(
2
1
0
r
i
i
i
A
根据最大无
关的定义,知
,
)
(
0
r
A
R
所以
中存在
阶非零子式,
即矩阵 中
含有 阶
非零子式
.
r
r
0
A
A
另一方面,如
果 中有
阶子式
不为零,则
A
1
r
1
r
D
矩阵
中
所在的
列
线性无
关
(
因为矩阵
的秩为
)
.
A
1
r
D
1
r
1
2
1
,
,
,
r
j
j
j
)
,
,
,
(
1
2
1
r
j
j
j
1
r
m
A
,
,
,
:
2
1
设向量组
的秩为
,且
是它的一个最
大无关组
.
r
r
i
i
i
,
,
,
2
1
这与
是
的列向量
组的最大无关组
矛
盾
.
r
i
i
i
,
,
,
2
1
A
因此
.
)
(
r
A
R
即,
矩阵的列
向量组的秩等于矩阵的秩
.
第
3
页
/
共
49
页
5
2.
定理
6
矩阵的秩等于
它的列向量组的秩,也
等于它的行向
量组的秩
.
证
)
,
,
,
,
(
2
1
m
A
,
)
(
r
A
R
设
并设
的 阶子式
.
r
A
0
r
D
由
知,在
中
所在的 列线
性无关
;
0
r
D
A
r
D
r
又由
中所有
阶子式均为零知,
中任意
个列向量都线性相关
.
A
A
1
r
1
r
因此,
所在的
列是
的列向量组的一个最
大无关组,
r
A
r
D
所以
的列向量组的秩为
.
A
r
类似可证矩阵的
行
向量组
的秩等于矩阵的秩
.
第
4
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/
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49
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