"线性代数N维向量空间基与维数PPT学习教案.pptx"
向量空间的定义和性质
在数学中,向量空间(Vector Space)是一种抽象代数结构,它是由一组向量和两个运算(向量加法和标量乘法)组成的。在这里,我们将讨论向量空间的定义、性质和一些重要的概念。
向量空间的定义
设V是Rn的非空子集,且对向量的加法及数乘封闭(closed),即仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运算也构成一个向量空间。Rn和{0}称为Rn的平凡(trivial)子空间。则称V是Rn的一个子空间(subspace),或直接称为一个(实)向量空间(real vector space)。
向量空间的性质
向量空间有以下两个重要性质:
1. 闭包性(Closure):对所有的α,β∈V,k∈R,有α+β∈V,kα∈V。
2. 可加性(Additivity):对所有的α,β∈V,有α+β∈V。
3. 可乘性(Scalar Multiplicativity):对所有的α∈V,k∈R,有kα∈V。
向量空间的例子
1. V = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}是一个向量空间。
2. V = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R, x+y−z = 0}是一个向量空间。
3. A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, b ≠ 0, KA = {ξ ∈ Rn | Aξ = 0}是一个向量空间。
4. α1, α2, …, αs ∈ Rn, L(α1, α2, …, αs) = {ξ ∈ Rn | ξ = k1α1 + k2α2 + … + ksαs, ki ∈ R}是一个向量空间。
基和维数
设α1, α2, …, αr是V的一组基,则r称为V的维数,记为dim(V)。n维基本单位向量组就是Rn的一组基,dim(Rn) = n。
基的性质
1. 线性无关(Linear Independence):α1, α2, …, αr是V的一组基,当且仅当它们之间不存在非平凡的线性关系。
2. 生成性(Spanning):α1, α2, …, αr是V的一组基,当且仅当每个向量α ∈ V可以由α1, α2, …, αr线性表出。
基变换
设α1, α2, …, αr和β1, β2, …, βr是V的两组基,则存在r×r矩阵P,使得(β1, β2, …, βr)=(α1, α2, …, αr)P。称P为从基α1, α2, …, αr到基β1, β2, …, βr的变换矩阵。
坐标变换
设α1, α2, …, αr是V的一组基,对于每个向量α ∈ V,有唯一的一组有序实数k1, k2, …, kr,使得α = k1α1 + k2α2 + … + krαr。则{k1, k2, …, kr}T是α在α1, α2, …, αr这组基下的坐标。