### 有理数及其计算习题归类六（含绝对值的运算）
#### 知识点一：绝对值的基本概念
- **定义**：绝对值是数轴上某个数到原点的距离，记作 |x|。对于任意实数 x：
- 如果 \(x > 0\)，则 \(|x| = x\)；
- 如果 \(x < 0\)，则 \(|x| = -x\)；
- 如果 \(x = 0\)，则 \(|x| = 0\)。
#### 知识点二：绝对值的性质
- **性质**：绝对值具有以下基本性质：
- 非负性：\(|x| \geq 0\) 对所有实数 x 成立。
- 对称性：\(|-x| = |x|\)。
- 三角不等式：对所有实数 x 和 y，有 \(|x + y| \leq |x| + |y|\)。
#### 知识点三：含有绝对值的等式和不等式的解法
- **解含有绝对值的等式**：当解含有绝对值的等式时，需要考虑绝对值内部表达式的正负情况。通常可以分为两种情形来考虑：
- 当内部表达式的值大于等于零时的情况。
- 当内部表达式的值小于零时的情况。
- **解含有绝对值的不等式**：类似地，解含有绝对值的不等式也需要考虑内部表达式的正负情况，并结合绝对值的性质进行分类讨论。
#### 知识点四：绝对值与数轴上的点的关系
- **数轴上的移动**：在数轴上，通过绝对值可以表示两个点之间的距离。例如，给定两点 A 和 B，在数轴上表示的数分别为 a 和 b，则 A 和 B 之间的距离为 \(|a - b|\)。
#### 知识点五：典型例题解析
1. **例题 1**：若 a > 0，则 \(|a| = a\)；若 a < 0，则 \(|a| = -a\)。
- **解析**：这直接反映了绝对值的定义。对于任何正数 a，其绝对值就是 a 本身；而对于任何负数 a，其绝对值则是 a 的相反数。
2. **例题 2**：已知 \(|x| = 4\)，\(|y| = ?\)，且 xy < 0，则 \(|x + y|\) 的值等于？
- **解析**：由于 \(xy < 0\)，这意味着 x 和 y 必须异号。因此，\(x\) 和 \(y\) 的取值只能是一正一负。结合 \(|x| = 4\)，我们可以推断出 \(x\) 可能为 4 或 -4。但是无论哪种情况，\(y\) 的绝对值都必须是 4 的相反数，即 \(|y| = 4\)。
3. **例题 3**：已知 \(|a| = 1\)，\(|b| = 2\)，\(|c| = 3\)，且 \(a > b > c\)，那么 \(a + b - c\) 的值为？
- **解析**：根据已知条件，我们可以确定 \(a\)、\(b\)、\(c\) 的取值范围。因为 \(a > b > c\) 并且它们的绝对值分别是 1、2、3，所以 \(a = 1\)，\(b = -2\)，\(c = -3\)。因此，\(a + b - c = 1 + (-2) - (-3) = 2\)。
4. **例题 4**：已知 \(|a + 2| + |b - 1| = 0\)，则 \((a + b) - (b - a)\) 的值为？
- **解析**：由于 \(|a + 2| + |b - 1| = 0\)，这意味着 \(a + 2\) 和 \(b - 1\) 都必须等于 0，即 \(a = -2\)，\(b = 1\)。因此，\((a + b) - (b - a) = (-2 + 1) - (1 + 2) = -4\)。
5. **例题 5**：若 \(|x - 2|\) 与 \((y + 3)^2\) 互为相反数，则 \(x + y\) 的值为？
- **解析**：由题意知 \(|x - 2| + (y + 3)^2 = 0\)。这意味着 \(x - 2\) 和 \(y + 3\) 必须同时为 0，即 \(x = 2\)，\(y = -3\)。因此，\(x + y = 2 - 3 = -1\)。
6. **例题 6**：根据绝对值的性质，去掉绝对值符号的例子。
- **解析**：绝对值符号的去掉取决于内部表达式的正负性。例如：
- \(|7 - 21| = 21 - 7\)（因为 7 - 21 < 0）。
- \(|-6 - 7| = 6 + 7\)（因为 -6 - 7 < 0）。
7. **例题 7**：如果 \(|ab - 2| + (b - 1)^2 = 0\)，求 \(a/b\) 的值。
- **解析**：由题意知 \(|ab - 2| + (b - 1)^2 = 0\)。这意味着 \(ab - 2 = 0\) 且 \(b - 1 = 0\)，即 \(ab = 2\) 且 \(b = 1\)。因此，\(a = 2\)，从而 \(a/b = 2/1 = 2\)。
8. **例题 8**：已知 \(|a| = 7\)，\(|b| = 3\)，求 \(a + b\) 的值。
- **解析**：这里没有给出 \(a\) 和 \(b\) 的具体关系，因此 \(a + b\) 的值会有多种可能。\(a\) 可以是 7 或 -7，\(b\) 可以是 3 或 -3。因此，\(a + b\) 的值可能是 10、4、-4 或 -10。
9. **例题 9**：若 \(x > 0\)，\(y < 0\)，求 \(|x + y|\) 的值。
- **解析**：由于 \(x > 0\) 且 \(y < 0\)，\(x + y\) 的正负取决于 \(x\) 和 \(y\) 的相对大小。如果没有更多信息，我们不能直接给出 \(|x + y|\) 的确切值，但可以根据 \(x\) 和 \(y\) 的相对大小来确定其值。
10. **例题 10**：阅读理解题目的解析。
- **解析**：题目1中的解答过程缺少对平方项非负性的考虑，即 \((a - 3)^2 \geq 0\)。题目2中，为了确保唯一解，需要添加额外条件以限制 \(a\) 和 \(b\) 的取值范围。
11. **例题 11**：计算题。
- **解析**：此题未给出具体计算内容，但涉及到绝对值的计算技巧。
12. **例题 12**：若 a、b、c 均为整数，且 \(|a - b|^3 + |c - a|^2 = 1\)，求 \(|a - c| + |c - b| + |b - a|\) 的值。
- **解析**：此题涉及绝对值的复杂组合计算。需要仔细分析每个绝对值表达式的可能取值，进而求解整个表达式的值。
13. **例题 13**：数轴上的移动问题。
- **解析**：根据题意，点从原点出发向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位后到达终点 \(-2\)。通过这种方式可以计算点 A 和点 B 在不同移动情况下的位置和距离。
- (1) 如果点 A 表示数 -3，向右移动 7 个单位后到达 B，则 B 表示的数为 4，A、B 两点间的距离为 7。
- (2) 如果点 A 表示数 3，向左移动 7 个单位，再向右移动 5 个单位后到达 B，则 B 表示的数为 1，A、B 两点间的距离为 2。
- 一般地，如果点 A 表示数 a，向右移动 b 个单位，再向左移动 c 个单位，那么终点 B 表示的数为 \(a + b - c\)，A、B 两点间的距离为 \(|b - c|\)。
