### 一元二次方程及其解法
#### 一、一元二次方程的基本概念
一元二次方程是一类非常重要的方程类型，在初中数学的学习中占据着重要的位置。一元二次方程的标准形式为\(ax^2 + bx + c = 0\)，其中\(a \neq 0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数。这类方程通常有零、一或两个实数解。
#### 二、公式法解一元二次方程
公式法是解决一元二次方程的一种基本方法，适用于所有一元二次方程。其基本步骤如下：
1. **确定方程**：首先将一元二次方程化简为标准形式\(ax^2 + bx + c = 0\)。
2. **计算判别式**：计算判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\)。
3. **根据判别式的值判断解的情况**：
- 若\(\Delta > 0\)，则方程有两个不相等的实数根；
- 若\(\Delta = 0\)，则方程有一个重根（即两个相等的实数根）；
- 若\(\Delta < 0\)，则方程没有实数根。
4. **求解**：根据判别式的值，利用求根公式\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)来求解方程的根。
#### 三、例题解析
1. **题目**：方程\(x^2 - 2x - 2 = 0\)的两个根为？
- **分析**：首先计算判别式\(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 4 + 8 = 12\)。因为\(\Delta > 0\)，所以方程有两个不相等的实数根。使用求根公式得到\(x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\)。因此，正确答案为\(C\)。
2. **题目**：用公式法解一元二次方程，它的根正确的应是？
- **分析**：此题未给出具体方程，无法直接求解。但是可以理解为要求学生掌握如何使用公式法求解一元二次方程。
3. **题目**：方程\(mx^2 - 4x + 1 = 0(m \neq 0)\)的根是？
- **分析**：同样地，先计算判别式\(\Delta = (-4)^2 - 4 \times m \times 1 = 16 - 4m\)。根据判别式的值来判断解的情况。由于题目未给出具体数值，这里不做进一步解答。
4. **题目**：若代数式\(x^2 - 6x + 5\)的值等于12，则\(x\)的值应为？
- **分析**：首先将问题转化为一元二次方程\(x^2 - 6x + 5 = 12\)，简化后得\(x^2 - 6x - 7 = 0\)。计算判别式\(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times (-7) = 36 + 28 = 64\)。因为\(\Delta > 0\)，使用求根公式得\(x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = 3 \pm 4\)。因此，\(x\)的值为\(7\)或\(-1\)。正确答案为\(B\)。
5. **题目**：关于\(x\)的一元二次方程的两个根应为？
- **分析**：此题描述不完整，缺少具体的方程信息，无法直接求解。
6. **题目**：关于\(x\)的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)\)的根是？
- **分析**：此题要求写出一般形式的一元二次方程的解。使用公式法，解为\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。
7. **题目**：一元二次方程\((2x + 1)^2 - (x - 3)(2x - 1) = 3x\)的二次项系数、一次项系数、常数项分别是？
- **分析**：首先将方程展开并简化，得到\(4x^2 + 4x + 1 - (2x^2 - x - 6x + 3) = 3x\)，即\(2x^2 + 8x - 2 = 0\)。因此，二次项系数为\(2\)，一次项系数为\(8\)，常数项为\(-2\)。
8. **题目**：若关于\(x\)的方程\(x^2 + mx - 6 = 0\)的一个根是2，则\(m =\)？另一根是？
- **分析**：已知一个根为2，代入方程得到\(2^2 + 2m - 6 = 0\)，解得\(m = 1\)。另一个根可以通过求根公式或利用根与系数的关系求出。设另一个根为\(n\)，根据韦达定理，\(n + 2 = -m\)，\(n \times 2 = -6\)，从而解得\(n = -3\)。
9. **解答题**：\(x^2 + 4x - 3 = 0\)。
- **分析**：计算判别式\(\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 16 + 12 = 28\)。因为\(\Delta > 0\)，使用求根公式得\(x = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}\)。
10. **解答题**：\(3x^2 - 8x + 2 = 0\)。
- **分析**：计算判别式\(\Delta = (-8)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 64 - 24 = 40\)。因为\(\Delta > 0\)，使用求根公式得\(x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{3}\)。
通过以上解析，我们可以看到公式法在解决一元二次方程时的应用过程。这些例题不仅帮助学生巩固了一元二次方程的解法，还加深了对相关概念的理解。
