目录
1 集与映射 1
1.1 集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 映射与关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 可数集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 乘积与选择公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 R 上的欧氏拓扑 33
3 拓扑空间的基本概念 37
3.1 拓扑空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 基与子基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 邻域系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 闭包与内部 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 序列的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 连续映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 子空间与乘积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8 商空间与和空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.9 拓扑性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 基本拓扑性质 71
4.1 分离性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 紧空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 局部紧空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 连通与道路连通空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 度量空间 103
5.1 度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 完备度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
iii
