数学建模学习方法-5 随机模拟.doc
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2022-05-03
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一 随机模拟（蒙特卡罗算法）
一 随机模拟法
随机模拟法也叫蒙特卡罗法，它是用计算机模拟随机现象，通过大量仿真
试验，进行分析推断，特别是对于一些复杂的随机变量，不能从数学上得到它
的概率分布，而通过简单的随机模拟就可以得到近似的解答。M onte Carlo 法也
用于求解一些非随机问题，如重积分、非线性方程组求解、最优化问题等。需
要指出的是，Monte Carlo 计算量大，精度也不高，因而主要用于求那些解析方
法或常规数学方法难解问题的低精度解，或用于对其他算法的验证。
蒙特卡罗方法的基本思想是：当所求解问题是某种随机事件出现的概率，
或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的
频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将
其作为问题的解。
在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作：
用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
使用蒙特卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：
使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。
对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。
计算新的分子构型的能量。
比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。
若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型。
若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔茲曼常数，同时产生
一个随机数。
若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。
若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型
重复再做下一次迭代。
如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。
二 随机模拟法应用实例
考虑二重积分 ,其中
根据几何意义，它是以 为曲面顶点，A 为底的柱体 C 的体积。用下
列简单思路求 I 的近似值：假设 C 被包在几何体 D 的内部，D 的体积为已知，
若杂 D 内产生 1 个均匀分别的随机数，那么
P(随机数落在 C 内) C 的体积/D 的体积
现产生在 D 内 N 个均匀分别的随机数，若其中 在 C 的内部，那么
I D 的体积 ，
从而求得 I 的解。试用这一方法计算积分
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