不动点迭代法matlab程序.pdf

不动点迭代法是一种在数值分析中用于求解非线性方程的常用方法。它的基本思想是将非线性方程 \( f(x) = 0 \) 转化为迭代形式 \( x = g(x) \)，其中 \( g(x) \) 是 \( f(x) \) 的一个近似。如果 \( g(x) \) 满足一定的条件，例如 \( |g'(x)| < 1 \)，则迭代序列会收敛到方程的根。 在MATLAB中实现不动点迭代法，可以编写如下的函数： ```matlab function fixedpoint(f, x0, n, db) f = inline(f); x = x0; for k = 1:n x_next = g(x); if abs(x_next - x) < db break; end x = x_next; end disp(sprintf('k = %d, x = %f', k, x)); end ``` 这里的 `g(x)` 是迭代公式，`f` 是非线性方程，`x0` 是初始值，`n` 是最大迭代次数，`db` 是收敛精度阈值。当连续两次迭代的差值小于 `db` 时，迭代停止。 实验中还提到了抛物线法，这是一种改进的迭代方法，它结合了两个或三个点的信息来提高收敛速度。MATLAB程序中的实现类似不动点迭代法，但引入了额外的计算步骤以确定更精确的迭代方向： ```matlab function parabolic(f, x0, x1, x2, e, m) f = inline(f); % ... 计算 w1, t1, t2, w2, w 同前 ... for k = 3:m % ... 迭代公式同前，但使用抛物线法的 w 值 ... end % ... 输出和结果检查同前 ... end ``` 抛物线法利用了二次插值的思想，通过构造一个二次多项式来逼近 \( f(x) \)，从而获得更精确的迭代点。这种方法通常比简单的不动点迭代法更快地收敛，特别是在初始点选择合适的情况下。 实验要求学生在上机前复习相关知识，编写程序，进行计算并分析结果。完成实验后，学生需要提交一份完整的实验报告，包括使用的算法、步骤、变量说明、程序代码、计算结果以及结果分析。 举例来说，要求找到方程 \( f(x) = x^3 - x - 1 \) 在区间 [1, 1.5] 内的零点。可以使用迭代公式 \( x_{n+1} = (1 + x_n)^{1/3} \)，初始值设为 1.5，然后运行MATLAB程序 `pwxff` 来找到零点。对于抛物线法，可以解决方程 \( x \cdot e^x - 1 = 0 \)，初始点分别为 0.5, 0.6 和 0.56532，使用 `pwxf` 函数求解。 实验总结指出，迭代法的收敛性取决于初始值的选择和迭代公式。选取不合适的初始值可能导致迭代序列发散，因此在实际应用中，通常需要尝试不同的初始值来寻找最佳收敛路径。