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考虑量化输入和输出约束的互联系统自适应分散跟踪控制.docx
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考虑量化输入和输出约束的互联系统自适应分散跟踪控制.docx
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在过去的几十年中, 不确定互联系统的分散自适应控制一直是控制领域的研究热点问
题之一. 所谓分散控制策略是指对每一个子系统利用局部信息而非全局信息来设计控制器.
相比单个系统, 子系统之间的互联关系使得分散控制设计成为挑战. 基于子系统输出的不确
定多项式组成互联项这一假设, 文献[1]讨论了大型互联系统的分散自适应控制设计. 由于
具备能够改善系统瞬态性能的优点, 反推(Basckstepping)法成为处理不确定性线性或非线性
控制系统的有效方法之一. 文献[2]首次提出基于反推法的分散自适应控制策略. 针对含有
未知不确定项的非线性互联系统, 文献[3-6]通过融合反推设计法和神经网络或模糊系统, 设
计分散控制律. 但是, 文献[1-6]的控制方法仅适用于输出调节控制问题, 即所有子系统的输
出最终趋于零. 当考虑输出跟踪问题时, 控制任务变得更复杂, 原因在于被跟踪的非零期望
轨迹将通过子系统之间的交互, 影响其他子系统的动态. 文献[7-9] 讨论了互联系统的输出
跟踪问题. 其中, 文献[9]讨论完全分散输出跟踪控制问题, 通过引入光滑非线性函数项消除
来自其他子系统互联项的影响. 文献[10]放宽了
[9]
的条件, 假设子系统包含未知非线性项且
互联函数上界为未知常数, 然后基于反推法设计了自适应跟踪控制器. 总结已有研究成果,
通常对互联项的假设条件是, 互联项的平方上界为每个子系统输出项的光滑函数与表示子
系统间互联强度的已知常系数的乘积的和
[11]
, 或者互联项绝对值的上界为每个子系统的输
出项绝对值与输出项的光滑函数以及表示子系统间互联强度的未知常系数的乘积的和
[12]
.
但文献[12]的假设条件只能应用于解决互联系统输出稳定问题, 对于互联项互联强度常数项
未知的输出跟踪问题, 如何进行控制设计, 目前鲜有相关研究成果.
量化控制系统设计对于研究数字控制和网络控制系统有十分重要的理论和实际价值,
因此近年来也是控制领域研究热点问题之一. 量化控制的关键问题是如何平衡低通信率和
控制精度之间的关系. 目前, 关于输入量化的研究成果已有很多
[13-15]
. 然而, 这些成果都是
基于量化参数已知的情形设计的鲁棒或自适应量化控制方法. 文献[16]针对量化参数未知的
情况讨论不确定系统的自适应量化控制问题, 作者设计自适应律来估计未知量化参数组合
的向量而不是未知参数本身, 而且其所考虑系统模型的不确定项是参数化表达而非完全未
知项. 文献[11]引入双曲正切函数设计自适应量化跟踪控制器, 并将这个方法扩展到含有未
知项的互联系统.
为了避免控制系统在运行过程中出现故障或维持期望的性能指标, 要求我们对实际被
控系统的状态或输出加以约束限制. 在实际操作过程中, 一旦违反约束会导致系统性能下
降, 甚至损坏设备或出现不可逆情况. 因此, 考虑具有输出约束的非线性系统控制设计一度
受到控制界学者广泛关注, 并取得了许多重要研究成果. 为满足输出受限要求, 文献[17]针
对非线性单输入单输出系统引入障碍李雅普诺夫函数, 并基于此设计控制器. 基于此, Han
等在文献[18]中利用动态面控制技术解决了"计算膨胀问题". 进一步, He 等将此方法扩展应
用到柔性起重机系统的输出受限控制
[19]
. 文献[20]针对非严格反馈形式的大型互联系统, 设
计自适应模糊分散控制律, 保证系统在有限时间内达到输出跟踪目的, 同时, 基于障碍李雅
普诺夫函数的设计方法, 保证了系统输出不违反约束条件.
基于以上分析, 本文针对一类非线性互联系统, 在系统存在未知非线性的情况下, 考虑
输入量化和输出约束, 设计自适应分散跟踪控制协议. 不同于文献[11], 本文假设互联强度
为未知常数, 并分别针对量化参数已知和未知两种情况, 基于自适应反推法和神经网络任意
逼近特性设计控制策略. 此外, 障碍李雅普诺夫函数的引入, 确保了系统的输出不违反约束
条件. 数值仿真验证了所提方法的有效性.
本文主要内容组织如下: 第 1 节介绍系统模型, 给出设计过程需要用到的假设和引理
以及神经网络相关预备知识, 并提出要解决的控制问题. 第 2 节分别针对量化参数已知和未
知两种情形, 基于自适应反推技术给出互联系统控制器的设计过程以及稳定性分析. 第 3 节
给出数值仿真以验证所提方法的有效性. 第 4 节总结本文主要工作.
1. 问题描述及预备知识
1.1 问题描述及基本假设
考虑如下具有量化输入的 N 个关联子系统复合组成的非线性不确定互联系统, 其中子
系统 j 的动力学方程为
˙xj,i=xj,i+1+fj,i(ˉxj,i)+Δj,i(ˉy)˙xj,n=qj(uj)+fj,n(xj)+Δj,n(ˉy)yj=xj,1
(1)
其中, xxj=[xj,1,xj,2,⋯,xj,n]T∈Rn 是子系统的状态向量, ¯xxj,i=[xj,1,xj,2,⋯,xj,i]T∈
Ri, ¯yy= [y1, y2,⋯,yN]T∈RN 是子系统的输出向量且满足约束|yj|≤kc1, ∀t>0, kc1>0, fj,i(⋅)为未知
光滑函数, 表示子系统的非线性项, Δj,i(⋅)为未知光滑函数, 表示子系统之间的互联项, qj(uj)
∈R 和 yj ∈ R 分别是子系统的实际输入和输出, qj(uj)取 uj 的量化值. 量化函数选取如下
[11]
qj(uj)= {uj,isgn(uj),uj,i1+δj<|uj|≤uj,i, ˙uj<0 或 uj,i<|uj|≤uj,i1−δj, ˙uj>0uj,i(1+δj)sgn(uj),uj,i<|uj|≤uj,i1−δj, ˙uj<0 或
uj,i1−δj<|uj|≤uj,i(1+δj)1−δj, ˙uj>00,0≤|uj|<uj,min1+δj, ˙uj<0 或 uj,min1+δj≤|uj|≤uj,min, ˙uj>0qj(uj(t−)),˙uj=0
(2)
其中, uj,i=ρ1−ijuj,min, j=1,2,⋯, 参数 uj,min 代表 qj(uj)死区大小, 0<ρj<1 为量化密度, 即 ρj
越大表示量化器越精确, δj=(1−ρj)/(1+ρj), qj(uj)的取值范围为 U={0,±uj,±uj(1+δj)}. 对系统(1)
作如下假设.
假设 1. 非线性互联项满足
|Δj,i(ˉy)|≤N∑l=1dj,i,lϕj,i,l(yl)
(3)
其中, ϕj,i,l(⋅)为已知光滑函数, dj,i,l>0 表示不确定子系统之间相互作用的强度, 即互联
强度.
注 1. 量化器分为两类: 均匀量化和非均匀量化. 对数(Logarithmic)量化和滞后
(Hysteresis)量化属于非均匀量化, 即信号的量化间隔不相同. 如文献[11]所述, 相比较对数
量化器, 滞后量化能够自动调节量化强度, 从而避免抖振现象. 因此, 本文选择后者用于量
化器设计.
注 2. 文献[11]假设条件为(hij(y1,⋯, yN,t))2 ≤∑Nk=1ri,j,kˉhi,j,k(yk), 即互联项的平方上界为
所有子系统互联强度与已知光滑函数乘积的和, 并且互联强度为已知常数. 文献[12]的假设
条件为|ψij(y1,⋯,yN,t)|≤∑Nk=1ρi,k,j|yj|ϕi,k,j(yj), 其中互联强度 ρi,j,k 为未知正常数, 但此假设条件
仅适用于解决输出稳定问题, 对于输出跟踪问题却不适用. 本文所提假设条件不仅满足互联
强度为未知常数, 而且适用于输出跟踪问题, 因此放宽了文献[11]和文献[12]的假设条件.
假设 2. 存在正常数 Y0, Y_0, ¯Y0, Y1, Y2, ⋯, Yn 且有 max{Y_0,¯Y0}≤Y0, 使得参考跟踪信
号 yj,r 和 i 阶导数 y(i)j,r, i=1,2,⋯,n 满足|yj,r|≤Y0, |˙yj,r| ≤Y1, |¨yj,r|≤Y2,⋯,|y(n)j,r|≤Yn.
引理 1
[14]
. 存在函数 gj(uj)和 dj(t), 使得量化器函数被分解为
qj(uj)=gj(uj)uj(t)+dj(t)
(4)
其中, 函数 gj(uj)和 dj(t)分别满足 1−δj≤ gj(uj) ≤1+δj 和|dj(t)|≤uj,min.
引理 2
[17]
. 对任意正常数 kj,d1, 定义开集
ZZ1= {zj,1 ⊂R:|zj,1|<kj,d1}⊂R, N=Rl×ZZ1⊂Rl+1. 考虑系统
˙η=h(t,η)
(5)
其中, ηη=[w,zj,1]T∈N 是状态变量, 函数 h: R+ × N→Rl+1 是分段连续函数, 且满足局部
李普希兹条件. 假设存在连续可导正定函数 U:Rl→R+和 V1:ZZ1→R+, i=1,2,⋯,n 使得
V1(zj,1)→∞,|zj,1|→kj,d1
(6)
β1(‖w‖)≤U(w)≤β2(‖w‖)
(7)
并且 β1 和 β2 是 K∞类函数. 令 V(η)=V1(z1)+U(w), 且 z1(0)∈ZZ1. 如果以下不等式成立
˙V=∂V∂ηh≤−μV+λ
(8)
那么, w 有界并且 zz1∈ZZ1, ∀t∈[0,∞).
注 3. 由引理 2 可得, 对于∀t>0, 只要|z1(0)| < kj,d1, 则有|z1(t)|<kj,d1. 又因为 yj=zj,1+yr,
而假设 2 给出期望信号 yr 有界且上界为 Y0, 因此, 只要令 kj,d1+Y0=kc1, 则保证系统输出 yj
的约束永不被违反. 所以, 我们得出结论: 输出约束控制是一种间接约束, 即通过对跟踪误
差进行约束继而达到输出约束的目的.
引理 3
[20]
. 对任意正常数 kj,d1, 且满足|zj,1|<kj,d1, 有如下不等式成立
lgk2j,d1k2j,d1−z2j,1<z2j,1k2j,d1−z2j,1
引理 4
[21]
. 对任意变量 z 和任意常数 ξ>0, 有如下不等式成立
0≤|z|−z2√z2+ξ2≤ξ
1.2 径向基函数神经网络(RBFNN)
对于任意连续函数 f(ZZ):Rq→R, 利用径向基函数神经网络(Radial function neural
network, RBFNN)估计, 得到如下表达式
sup|f(ZZ)−WWTSS(ZZ)|≤δ(ZZ)
其中, WW∈Rl 为权向量, l>1 为神经网络节点个数, ZZ∈ΩZ⊂Rq 为输入向
量, SS(ZZ)=[s1(ZZ), s2(ZZ), ⋯,sl(ZZ)]T∈Rl 为高斯基函数向量, 定义为
si(ZZ)=exp[−(ZZ−μμi)T(ZZ−μμi)η2i]
其中, i=1,2,⋯,l, μμi 和 ηi 分别为高斯基函数的中心和宽度.
文献[22]研究表明, 神经网络能够在有界闭集 ΩΩZ ⊂ Rq 上以任意精度逼近任意连续函
数 f(ZZ):
f(ZZ)=WW∗TSS(ZZ)+δ(ZZ)
其中, WW∗为理想权值向量, δ(ZZ)为逼近误差, 满足|δ(ZZ)|≤ˉδ(ZZ).
本文控制目标是对于每一个子系统, 设计自适应量化跟踪控制器使得闭环系统所有信
号最终一致有界, 而且保证跟踪误差收敛到原点的一个小邻域, 同时, 所有子系统输出都不
违反约束条件.
2. 自适应分散跟踪控制设计
2.1 量化参数 δj 和 uj,min 已知
本小节讨论当量化参数均为已知情况下, 基于反推法设计输出约束的自适应分散量化
控制策略. 对于第 j 个子系统, 反推法设计过程一共包含 n 步, 在最后一步设计中, 我们给
出实际控制输入 uj.
为简化表达, 定义如下符号: ~(⋅)=(⋅)−^(⋅), ^(⋅)表示(⋅)的估计值, ¯xxj,i=[xj,1,xj,2,
⋯,xj,i], ¯yy(i)j,r = [yj,r,˙yj,r,⋯,y(i)j,r], ¯^θθj,i=[ˆθj,1,ˆθj,2,
⋯,ˆθj,i], θj,i = ‖WWj,i‖2, aj,i, cj,i, σj,i, γj,i, γd,j, σμj,1, σd,j, σβ,j, γβ,j, γμj,1, ξj,1 和 ξj,2 为设计参数, 令
SSj,i(ZZj,i)=SSj,i, ZZj,i=[ˉxj,i,ˉy(i)j,r,ˉˆθj,i]T, i=1,⋯,n, j=1, ⋯, N.
互联项相关参数定义为
μj=max1≤m≤n,1≤i≤NN4(n+1−m)d2j,m,i
(9)
φj=2zj,1z2j,1+τ2j,1n∑m=1N∑i=1ϕ2j,m,i(yi),τj,1>0
(10)
对子系统 j, 定义如下坐标变换表达式
zj,i=xj,i−αj,i−1,i=1,2,⋯,n
(11)
其中, αj,0=yr(t), αj,i 为第 i 步设计的虚拟控制器.
利用自适应反推控制技术为系统(1)进行控制设计. 整个设计过程包括 n 步.
第 1 步选取虚拟控制律 αj,1 以及参数ˆθj,1 和ˆμj 的自适应律为
αj,1=−(cj,1+12)zj,1−(k2j,d1−z2j,1)ˆμjφj− 12a2j,1zj,1k2j,d1−z2j,1ˆθj,1SSTj,1SSj,1
(12)
˙ˆθj,1= σj,12a2j,1z2j,1(k2j,d1−z2j,1)2SSTj,1SSj,1−γj,1ˆθj,1
(13)
˙ˆμj= σμj,1zj,1φj−γμj,1ˆμj
(14)
第 2 步选取虚拟控制律 αj,2 和参数ˆθj,2 的自适应律为
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