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n 维二阶锥 K
n
定义为
Kn={x=(x1;x2)∈R×Rn−1:x1⩾‖x2‖},
考虑二阶锥权互补问题(WSOCCP):寻找一向量 ζ∈R
n
,使得
其中 F(ζ): R
n
→R
n
为连续可微函数,w∈K
n
为给定的权向量。当权向量 w 为零向量
时,式(1)退化为二阶锥互补问题(SOCCP)
[1]
:
作为一类重要的锥优化问题,WSOCCP 是 R
n
上的权互补问题(WCP)在二阶锥上的推
广,其在经济学、力学、工程设计等方面有着广泛的应用
[2]
。WCP 中非零权向量的存在使
得 WCP
[3-5]
的理论和算法比互补问题(CP)复杂得多,因此目前关于 WCP 的研究并不多见,
如 Zhang
[6]
运用光滑牛顿法求解单调线性 WCP,Tang
[7]
给出一种新的光滑算法求解大规模
线性 WCP。
下降算法是求解 CP 的有效算法
[8-9]
,其基本思想是基于效益函数将原问题转化为一个
等价的无约束极小化问题
[10]
,利用下降算法求解此极小化问题,进而得到原问题的解。
鉴于此,提出一类含参数二阶锥权互补函数,构造 WSOCCP 的效益函数,讨论其光
滑性,并基于此效益函数将 WSOCCP 转化为无约束极小化问题,利用下降算法求解,从
而得到原问题的解。
1. 预备知识
与二阶锥相伴的欧几里得约当代数有如下性质
[11]
。
对任意 x=(x
1
; x
2
)∈R×R
n-1
, y=(y
1
; y
2
)∈R×R
n-1
,x 和 y 的约当积定义为
定义箭形矩阵
其中 I 为适当维数的单位阵,易证
定义 1 (谱分解) 对任意
与二阶锥相伴的谱分解定义为