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综合半参数核估计与正则化方法的航空重力向下延拓模型分析.docx
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综合半参数核估计与正则化方法的航空重力向下延拓模型分析.docx
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航空重力测量与传统的重力测量方法相比,具有测量速度快、范围广、成本低等优
势,除此之外,还可在沙漠、沼泽、原始森林等常规重力测量无法作业的地方进行,从而
使航空重力成为大规模重力数据采集的主要手段
[1-2]
。
航空重力测量技术一个重要的环节就是数据的向下延拓,延拓精度的高低将直接影响
到重力数据的应用。向下延拓主要采用的是求解逆泊松积分
[3]
方程,由于求逆不稳定,难
以得到准确的延拓解,该问题属于不适定问题。为了减弱病态性的影响,国内外学者提出
了很多解决思路,主要有 3 类:第 1 类为直接求逆泊松积分方程,以在求逆过程中加入正
则化参数抑制噪声为主,如 Tikhonov 正则化算法(TIK)
[4]
、截断奇异值分解法
[5]
等;第 2
类为间接求逆,如矩谐分析法
[6]
、最小二乘配置(least squres,LS)
[7-9]
等,避开了直接对
泊松积分求逆,但以 LS 为例,解算过程中协方差阵仍涉及求逆,存在解不稳定的情况。
第 3 类为非求逆法,如利用卫星测高重力向上延拓和超高阶位模型计算改正数、联合使用
超高位模型和地形信息来确定延拓改正数
[10]
及直接代表法
[11]
等。除求逆以外,在参数解算
过程中,观测数据还受到系统误差的影响,如格值标定误差、加速度改正的误差
[12-13]
等。
为了保证延拓精度,在进行延拓求解时,需要事先分离出系统误差,一般情况是引入高质
量的外部数据来改正系统误差。若无高质量的外部数据,上述 3 类延拓方法都会受系统误
差影响,影响延拓的精度。除此之外,在建立逆泊松积分向下延拓模型计算过程中,还存
在积分离散化问题
[14]
,若使用不同的离散方法,得出的延拓结果会存在一定的差异,积分
离散会对系数矩阵造成干扰,导致存在一定的模型误差
[15]
。
为了解决上述误差对延拓精度的影响,将重力数据中的系统误差和离散化造成的模型
误差用非参数分量表达,在无外部数据的情况下,引入核函数
[16]
,建立基于半参数核估计
方法的重力向下延拓模型,为了改善逆泊松积分离散后的设计矩阵的病态影响,引入正则
化方法,提出了综合半参数核估计和正则化方法的逆泊松积分延拓方法,在无外部数据
时,向下延拓的同时分离系统误差,并与传统的 LS 法、TIK 法等延拓模型进行了精度比
较,利用实测数据和模拟数据验证了本文提出的半参数正则化模型向下延拓的可靠性、适
用性。
1. 计算模型
1.1 逆泊松积分模型
根据泊松积分公式,将地面重力异常数据向上延拓,有:
Δ g*(r,θ,λ)=(R2(r2−R2))4 π r∬σ Δ g(R,θ′,λ′)ρ3dσ Δ g*(r,θ,λ)=(R2(r2−R2))4 π r∬σ Δ g(R,θ′,λ′)ρ3dσ
(1)
式(1)将积分面视为球面,近似表达大地水准面,因此需先将地面数据解析延拓至
大地水准面上,记为 Δg(R,θ′,λ′)Δg(R,θ′,λ′),而 Δg∗(r,θ,λ)Δg∗(r,θ,λ)则为空中重力异常,
r=R+hr=R+h 为地球平均半径 R 与飞行高度 h 的和;θ'、λ'与 θ、λ 分别表示地面点和空中
点的纬度、经度;dσ 为格网面积,
ρ=r2+R2−2rRcosψ−−−−−−−−−−−−−−−√ρ=r2+R2−2rRcosψ 为 Δg∗(r,θ,λ)Δg∗(r,θ,λ)
到 Δg(R,θ′,λ′)Δg(R,θ′,λ′)的距离,Ψ 为球面角度,
cosψ=cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(λ′−λ)cosψ=cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(λ′−λ)。
将泊松积分离散后,矩阵形式的泊松积分可表示为:
Δg∗i=∑j=1nBijΔgjΔgi∗=∑j=1nBijΔgj
(2)
式中,i=1, 2…m, m 为空中重力异常点个数;n 为地面重力异常点个数。向下延拓即
求式(2)的逆问题。
1.2 半参数核估计正则化向下延拓模型
向下延拓过程中会放大随机噪声、系统误差及逆泊松积分离散化造成的模型误差,为
了减弱系统误差、模型误差的影响,可以将其都归到非参数分量,用非参数分量 s(t
i
)表
达,此时,式(2)变为:
Δg∗i=∑j=1nBijΔgj+s(ti)Δgi∗=∑j=1nBijΔgj+s(ti)
(3)
表达为向量形式为:g∗=BX+sg∗=BX+s,其中,g∗=[Δg∗1,Δg∗2⋯Δg∗m]Tg∗=[Δg1
∗,Δg2∗⋯Δgm∗]T 为空中重力观测量,X=[Δg1,Δg2⋯Δgn]TX=[Δg1,Δg2⋯Δgn]T 为待求地面
重力,B=[b1,b2⋯bm]TB=[b1,b2⋯bm]T 为逆泊松积分离散后的设计矩阵,
s=[s(t1),s(t2)⋯s(tm)]Ts=[s(t1),s(t2)⋯s(tm)]T 是非参数分量。
求解时,发现当矩阵 B
T
PB 病态时,补偿最小二乘法不能得到理想效果,因此为了求
解参数的估计值,首先假设 X 已知,基于{ti,g∗i−bTiX}mi=1{ti,gi∗−biTX}i=1m 可以对 s(t
k
)
做核估计:
s^k=∑i=1mWi(tk)(g∗i−bTiX)s^k=∑i=1mWi(tk)(gi∗−biTX)
(4)
式中,一个系统误差对应一个 Wi(tk)Wi(tk),Wi(tk)Wi(tk)为核权函数,是整个样本
相对于点 t
k
的权,反映估计 s^ks^k 时观测量作用大小。对选定点 t
k
有:
Wi(tk)=K((tk−ti)h−1)/∑j=1mK((tk−tj)h−1)Wi(tk)=K((tk−ti)h−1)/∑j=1mK((tk−tj)h−1),
其中,i,j=1,2⋯m;k=1,2⋯mi,j=1,2⋯m;k=1,2⋯m,m 为航空重力数据的个数;K(·)为选取
的核函数;h 为窗宽参数,且 h >0。
此时,由式(4)可计算残差为:
Vi=bTiX+s^i−g∗iVi=biTX+s^i−gi∗
(5)
将式(4)代入,并令 W=(Wi(tj))m×mW=(Wi(tj))m×m,则式(5)可以写成如下向
量形式:
V=(I−W)(BX−g∗)V=(I−W)(BX−g∗)
(6)
令 B~=(I−W)BB~=(I−W)B,g~∗=(I−W)g∗g~∗=(I−W)g∗,由于
(B~TPB~)−1(B~TPB~)−1 可能会存在奇异,为此,引入正则化方法减弱病态,具体为:
(B~X^−g~∗)TP(B~X^−g~∗)+βX^TX^=min(B~X^−g~∗)TP(B~X^−g~∗)+βX^TX^=min
(7)
式中,β 为正则化参数。构造拉格朗日函数,对参数分别求解,得到参数估计值:
X^=(B~TPB~+βI)−1B~TPg~∗X^=(B~TPB~+βI)−1B~TPg~∗
(8)
将式(8)代入式(4)中,即可得到非参数分量 s^s^的估计值:
s^=W(g∗−BX^)s^=W(g∗−BX^)
(9)
从式(8)、式(9)可以看出,估计值精度的高低与窗宽参数和正则化参数的合理选
择有关,参数的选择使用广义交叉核实法(generalized cross-validation,GCV)来选
取。GCV 函数定义为:
GCV(h,β)=VTPV(1−tr(H(h,β))/m)2GCV(h,β)=VTPV(1−tr(H(h,β))/m)2
(10)
式中,H(h, β)为影响矩阵,由 BX+s=H(h,β)g∗BX+s=H(h,β)g∗定义;m 为观测值个
数;tr(H)为矩阵 H 的迹。H(h, β)的定义如下:
H(h,β)=B~(B~TPB~+βI)−1B~T(I−W(h))+W(h)H(h,β)=B~(B~TPB~+βI)−1B~T(I−W(h))+W(h)
(11)
两个参数的求解方法是设置 GCV 双循环,求出 GCV 函数值最小时对应的窗宽和正
则化参数。
2. 数值计算及精度分析
为了验证本文提出的半参数核估计正则化向下延拓方法的延拓精度与可靠性,设计了
一个仿真算例和一个实测算例,分别以 LS 法、TIK 法和本文方法进行向下延拓,并进行对
比分析。
2.1 仿真计算与分析
2.1.1 数据准备
数据选择美国南部一个 4°×1°区域作为实验区,其区域为 27°N~31°N、
87°W~88°W,使用 EGM2008(earth gravity model 2008)模型 2 160 阶计算了该区域飞
行高度为 3.3 km 与 6.3 km 处分辨率为 3′×3′的空中重力异常,为评估延拓效果,同时计算
了零高度面的重力异常作为基准值。表 1 统计了仿真区域 EGM2008 模拟的重力异常特
性。
表 1 仿真区域各项重力异常特性的统计
Table 1. Characteristics of Gravity Anomalies at Simulation Area
高度/km
最小值
/mGal
最大值
/mGal
平均值
/mGal
标准差
/mGal
0
-104.35
35.67
-29.78
32.93
3.3
-90.93
28.03
-28.93
30.07
6.3
-82.97
22.73
-28.19
27.84
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