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航空重力向下延拓的多参数正则化方法.docx
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航空重力向下延拓的多参数正则化方法.docx
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航空重力测量是获取地球重力场观测数据的重要方式,而要将其应用到大地测量等相
关领域,则需将航空重力数据进行格网化并归算到大地水准面上,故而要采用向下延拓技
术。目前,关于航空重力数据向下延拓方法的讨论已成为国内外学者关注的焦点和热点
[1-
4]
。
航空重力向下延拓方法主要有直接代表法、虚拟点质量法、正则化方法以及利用球内
Dirich‐ let 问题解向下延拓等。陈欣等
[5]
对这些方法进行了比较分析,结合大同地区实测
航空重力数据,应用密集地面实测重力数据进行检核,得出基于 Poisson 积分的正则化方
法精度最高的结论。但 Poisson 积分逆问题的解算方程存在严重的病态性,如果不采取有
效措施对其进行处理,其解算结果会严重偏离参考值,进而得到不可靠的结论。为此,许
多学者将正则化方法引入航空重力测量数据向下延拓的数据处理中,并得到了一些有意义
的结论,验证了该方法的可行性
[6-7]
。为了进一步提高航空重力数据向下延拓的精度,在经
典的正则化方法的基础上,许多学者进一步讨论了相对应的正则化解算策略,例如顾勇为
等
[8-9]
研究了多种 Tikhonov 正则化策略,通过信噪比方法诊断系数矩阵的复共线性,有针
对性地构造正则化矩阵,有效地改进了先前正则化方法的不足;邓凯亮等
[10]
、蒋涛等
[11]
分
别应用双参数正则化方法和广义岭估计方法在航空重力向下延拓中的应用进行了探讨,均
取得了良好应用效果。然而,以上研究大多数均以单个正则化参数为基础。近年来,相关
学者讨论了多个正则化参数,并给出了相关参数选取方法和解算策略。但现有方法存在正
则化参数选取较为复杂、计算困难的不足
[12]
。为此,本文介绍了一种简洁和方便计算的多
参数正则化方法,结合 MSE(mean square of estimation)标准选取正则化参数,并将其
应用于航空重力数据向下延拓,验证了该方法的可行性。
1. 航空重力向下延拓的数学模型
根据位理论和 Dirichlet 边值理论,重力异常可通过 Poisson 积分公式计算,表达式
为:
Δgh(r,ϕ,λ)=R2(r2−R2)4πr∬σΔg(R,ϕ′,λ′)ρ3dσΔgh(r,ϕ,λ)=R2(r2−R2)4πr∬σΔg(R,ϕ′,λ′)ρ3dσ
(1)
式中,R 为地球半径;r = R + H,为计算点的地心距离,H 为延拓高度;ϕ、λ 为计
算点的纬度和经度;ϕ'、λ'为单位流动面元 dσ 的纬度、经度;ρ 为计算点与流动面元间的
距离。其计算公式为:
ρ=r2+R2−2rRcosψ−−−−−−−−−−−−−−−−√ρ=r2+R2−2rRcosψ
(2)
cosψ=sinϕ′sinϕ+cosϕ′cosϕcos(λ′−λ)cosψ=sinϕ′sinϕ+cosϕ′cosϕcos(λ′−λ)
(3)
鉴于航空重力异常和地面重力异常均为离散值,于是将式(1)离散化,有:
Δgh(r,φi,λi)−ΔgΠ−Ω(r,φj,λj)=∑i=1tAijΔg(R,φ′j,λ′j)Δgh(r,φi,λi)−ΔgΠ−Ω(r,φj,λj)=∑i=1tAijΔg(R,φj′,λj′)
(4)
式中,Ω 为有效积分范围;Δg
∏ - Ω
(r,φ
j
,λ
j
)为远区影响,可通过重力场模型近似计
算得到。为了抑制截断误差的影响,保证向下延拓精度的可靠性,这里采用移去‐恢复技
术进行处理,具体计算步骤见文献[10]。进而可将式(4)写成矩阵形式:
LΔgh=AXΔgLΔgh=AXΔg
(5)
其中,L
Δg
h
= Δg
h
(r) - Δg
∏ - Ω
(r);A=[A
ij
]
n × t
;X
Δg
= Δg (R)。
利用最小二乘(least-square,LS)方法,可得到地面重力估计值为:
X^Δg=(ATA)−1ALΔghX^Δg=(ATA)−1ALΔgh
(6)
上述公式中 A
T
A 的条件数较大,呈现出严重的病态性,微小扰动就会对解造成巨大
影响,因而需采用正则化方法进行求解。许多学者就相关方法进行了深入研究,主要集中
于单个正则化参数的 Tikhonov 正则化方法。为了进一步保证向下延拓的可靠性和精度,
本文介绍了一种多参数正则化方法。
2. 多参数正则化方法基本原理
考虑如下 Gauss-Markov 模型
[13]
:
L=AX+ΔΔ∽N(0,σ20P−1)L=AX+ΔΔ∽N(0,σ02P−1)
(7)
式中,L 为 n × 1 观测向量;A 为 n × t 系数矩阵;X 为 t × 1 未知参数向量;Δ 为 n ×
1 随机误差向量。通常仅考虑权阵为 P = I,则有:
L=AX+εL=AX+ε
(8)
式中,ε 为 n × 1 随机误差向量,ε ~ N (0,σ
0
2
I
n
)。
模型(7)的 LS 估计为:
X^LS=(ATA)−1ATLX^LS=(ATA)−1ATL
(9)
如果对系数矩阵作奇异值分解(singular value decomposition,SVD),有:
A=USVTA=USVT
(10)
式中,U 为 n× t 的正交矩阵;S 为由系数矩阵 A 的特征值组成的对角矩阵,即
S=diag(λ
1
,λ
2
…λ
t
);V 为 t × t 的正交矩阵。
对式(9)变形,得:
X^=A+LX^=A+L
(11)
其中,A
+
= VS
-1
U
T
为影响矩阵。显然式(11)跟式(9)等价。
当系数矩阵 A 的条件数非常大时,式(11)呈现出严重的病态性,得到的未知参数
估值 X^X^极不稳定。采用 Tikhonov 正则化方法,即最小化如下目标函数
[14-15]
:
Ω=∥L−AX∥2+α∥X∥2Ω=‖L−AX‖2+α‖X‖2
(12)
可得未知参数估计为:
X^=(ATA+αIt)−1ATLX^=(ATA+αIt)−1ATL
(13)
上述正则化参数可通过 L 曲线法确定,其本质是由离散点
(ln(∥∥AX^−L∥∥2),ln(∥∥X^∥∥2))(ln(‖AX^−L‖2),ln(‖X^‖2))形成 L 曲线,然后确定相应的
拐点,对应的正则化参数即为所求
[16]
。
定义如下 GCV(generalized cros‐ validation)函数
[17]
:
GCV(k)=∥∥AX^−L∥∥2[tr(I−AA+)]GCV(k)=‖AX^−L‖2[tr(I−AA+)]
(14)
GCV 方法选取正则化参数的本质即求使式(14)达到最小的正则化参数。
通常称上述方法为单参数 Tikhonov 正则化方法,原因在于只包含一个正则化参数。
而多参数正则化方法的目标函数为
[12]
:
Ω=∥L−AX∥2+∑i=k∥BiX∥2+β∥X∥2Ω=‖L−AX‖2+∑i=k‖BiX‖2+β‖X‖2
(15)
其中正则化参数采用偏差原理求得:
∥∥L−AXδ(α1,α2⋯αk,β)∥∥2=cδ,c≥1‖L−AXδ(α1,α2⋯αk,β)‖2=cδ,c≥1
(16)
于是构造出如下形式的模型函数:
m(α1,α2⋯αk,β)=∥L∥2+∑i=1kCiαi+Dβ+Tm(α1,α2⋯αk,β)=‖L‖2+∑i=1kCiαi+Dβ+T
(17)
然后利用偏差原理迭代求解正则化参数,并令
Gm(α1,α2⋯αk,β)=m(α1,α2⋯αk,β)−β∂m(α1,α2⋯αk,β)∂β−∑i=1kαi∂m(α1,α2⋯αk,β)∂αiGm(α1,α2⋯αk,β)=m(α1,α2⋯αk,β)−β∂m(α1,α2⋯αk,β)∂β−∑i=1kαi∂m(α1,α2⋯αk,β)∂αi
(18)
如果(α
1,l
,α
2,l
…α
k,l
,β
l
)为第 l 次正则化参数解,可通过如下方程:
Gm(α1,l+1,α2,l+1⋯αj−1,l+1,,α,αj+1,l,αk,l,βl)=c2δ2Gm(α1,l+1,α2,l+1⋯αj−1,l+1,,α,αj+1,l,αk,l,βl)=c2δ2
(19)
求解得到第 k 个正则化参数 α = α
j,l + 1
,其中 j = 1,2…k - 1。因而,在每次迭代计算
完毕 α
j
(j = 1…k),同理可以通过如下方程:
Gm(α1,l+1,α2,l+1⋯αk,l,β)=c2δ2Gm(α1,l+1,α2,l+1⋯αk,l,β)=c2δ2
(20)
计算得到 β = β
l + 1
。
上述方法的设计和实现存在两个方面的问题:①k 值取多大合适;②如何同时确定多
个正则化参数 α
i
。而且每次迭代需要单个确定正则化参数,然后通过此参数确定下一个参
数,显然计算量相对过大。为此,本文结合 SVD 分解,设计相对简便的多参数正则化方
法。
对系数矩阵的特征值进行修正,以得到修正其条件数的目的,即
$A∗=U⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜λ1+α10λ2+α2⋱λt−1+αt−10λt+αt⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟VT$$A∗=U(λ1+α10λ2+α2⋱λt−1+αt−10λt+αt)VT$
(21)
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